Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego (2x²+2x+4)/(x⁴+3x³-4x²-12x) .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ R {-3,-2,0,2}
Dziedzina wyrażenia wymiernego to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik jest różny od zera.
## Krok 1: Warunek istnienia wyrażenia
Wyrażenie istnieje, gdy: x⁴ + 3x³ - 4x² - 12x ≠ 0
## Krok 2: Wyłączenie wspólnego czynnika
Wyłącza się x przed nawias: x(x³ + 3x² - 4x - 12) ≠ 0
Już widać, że x ≠ 0.
## Krok 3: Rozkład wielomianu trzeciego stopnia
Rozkłada się x³ + 3x² - 4x - 12 metodą grupowania: x³ + 3x² - 4x - 12 = x²(x + 3) - 4(x + 3)
Wyłącza się (x + 3): = (x + 3)(x² - 4)
## Krok 4: Rozkład różnicy kwadratów
Rozpoznaję wzór x² - 4 = x² - 2²: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
## Krok 5: Pełny rozkład mianownika
x⁴ + 3x³ - 4x² - 12x = x(x + 3)(x - 2)(x + 2)
## Krok 6: Wyznaczenie dziedziny
Mianownik jest równy zero, gdy: x(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0
Czyli gdy: x = 0 lub x = -3 lub x = 2 lub x = -2
## Odpowiedź
Dziedzina wyrażenia: x ∈ R {-3, -2, 0, 2}
Wyrażenia algebraiczne: Przekształcanie wyrażeń, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki i wyrażenia wymierne wraz z dziedziną.