Kalkulator wzorów skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia zamieniają iloczyn na sumę i sumę na iloczyn. Kwadrat sumy daje kwadrat pierwszego składnika, podwojony iloczyn obu i kwadrat drugiego, kwadrat różnicy różni się tylko znakiem środkowego wyrazu, a różnica kwadratów rozkłada się na iloczyn sumy i różnicy. Kalkulator wyżej rozwija dwumian i zwija trójmian, pokazując każde podstawienie.
Pierwszy składnik dwumianu
Liczba ujemna daje wzór na różnicę
Wynik: 4x² - 12x + 9
Zastosowany wzór: kwadrat różnicy.
Podstawienie: a = 2x, b = 3
Rozwinięcie: (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9
- Wzór(a - b)² = a² - 2ab + b²
- Podstawienie(2x - 3)² = 2x² - 2 · 2x · 3 + 3²
- Uproszczenie4x² - 12x + 9
Jak to policzyć
- Rozpoznaj, który wzór pasujeIloczyn dwóch identycznych nawiasów to kwadrat sumy albo różnicy. Iloczyn nawiasów różniących się wyłącznie znakiem drugiego składnika to różnica kwadratów. Trójmian z trzema wyrazami próbujesz zwinąć do kwadratu dwumianu, a dwumian z minusem między dwoma kwadratami do iloczynu sumy i różnicy.
- Nazwij składniki a oraz bWypisz osobno pierwszy i drugi składnik nawiasu razem ze współczynnikami. W wyrażeniu z dwumianem postaci 2x minus 3 pierwszym składnikiem jest 2x, a drugim 3, przy czym znak minus należy do wzoru, a nie do składnika. Ten jeden krok usuwa większość błędów znakowych.
- Podstaw do wzoru bez skracania drogiZapisz najpierw wzór ogólny, potem to samo z podstawionymi składnikami, a dopiero na końcu policz potęgi i iloczyny. Kwadrat składnika ze współczynnikiem dotyczy całego składnika, więc kwadrat wyrażenia 2x to 4x kwadrat, a nie 2x kwadrat.
- Sprawdź wynik na liczbiePodstaw pod zmienną dowolną prostą liczbę, na przykład jedynkę, do wyrażenia wyjściowego i do otrzymanego. Obie wartości muszą być równe, bo wzór skróconego mnożenia jest tożsamością. To sprawdzenie zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje pomyłkę w znaku środkowego wyrazu.
Przykład z matury
Trzy wzory, które trzeba znać z pamięci
Tablice maturalne podają kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów, a od Formuły 2023 także sześcian sumy i sześcian różnicy oraz sumę i różnicę sześcianów. Znajomość ich z pamięci nie jest wymogiem formalnym, ale jest różnicą między zadaniem na dwie minuty a zadaniem na osiem. W arkuszu prawie nigdy nie pyta się o sam wzór: pyta się o wartość wyrażenia, o dziedzinę ułamka algebraicznego albo o uzasadnienie nierówności, a wzór jest narzędziem po drodze.
Najczęstsze zastosowanie to usuwanie niewymierności i upraszczanie wyrażeń liczbowych. Kwadrat sumy z pierwiastkiem, na przykład wyrażenie w nawiasie z pierwiastkiem z dwóch, po rozwinięciu zamienia się w sumę liczby wymiernej i jednego składnika z pierwiastkiem, co zwykle jest już całą odpowiedzią.
Zwijanie, czyli wzory czytane od prawej do lewej
Rozkład na czynniki to ten sam wzór użyty w drugą stronę i to właśnie ten kierunek sprawia uczniom najwięcej kłopotu. Trójmian daje się zwinąć do kwadratu dwumianu tylko wtedy, gdy skrajne wyrazy są kwadratami, a środkowy jest ich podwojonym iloczynem. Warunek ten można sprawdzić jednym rachunkiem: wyróżnik trójmianu musi być równy zeru. Gdy współczynnik przy x kwadrat sam nie jest kwadratem liczby wymiernej, najpierw wyłącza się go przed nawias i dopiero zawartość nawiasu zwija się do kwadratu dwumianu.
Różnicę kwadratów rozpoznaje się jeszcze łatwiej, bo między dwoma kwadratami stoi minus i nie ma wyrazu ze zmienną w pierwszej potędze. Suma kwadratów nie rozkłada się w liczbach rzeczywistych i to jest gotowa odpowiedź w zadaniach typu prawda albo fałsz. Gdy żaden wzór nie pasuje, zostaje rozkład przez wyróżnik albo wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.
Gdzie te wzory wracają w innych działach
Wzory skróconego mnożenia pojawiają się w arkuszu daleko poza działem wyrażeń algebraicznych. W funkcji kwadratowej przejście z postaci ogólnej do kanonicznej jest uzupełnianiem do kwadratu, czyli kwadratem sumy czytanym wstecz. W geometrii analitycznej równanie okręgu ma po lewej stronie dwa kwadraty dwumianów i zadanie o środek okręgu zaczyna się od ich zwinięcia.
Trzeci obszar to dowody i uzasadnienia nierówności, gdzie kwadrat różnicy jest najczęstszym narzędziem, bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Rozpisanie tego samego materiału z przykładami znajdziesz we wpisie o wyrażeniach algebraicznych na maturze, a listę wzorów w zestawieniu wzorów.
Kwadrat sumy nie jest sumą kwadratów. Zapis pomijający podwojony iloczyn środkowy jest najczęściej powtarzanym błędem algebraicznym w całym arkuszu i nie dostaje ani jednego punktu.
Pułapki maturalne
Zgubiony podwojony iloczyn
Kwadrat sumy dwóch składników ma trzy wyrazy, nie dwa. Pominięcie środkowego wyrazu jest błędem, który zmienia wynik przy każdej wartości zmiennej różnej od zera. Najprostsze zabezpieczenie to podstawienie jedynki pod zmienną w wyrażeniu wyjściowym i w rozwinięciu, bo obie liczby muszą wyjść równe.
Kwadrat dotyczy całego składnika, także współczynnika
Podnosząc do kwadratu składnik ze współczynnikiem, podnosisz do kwadratu również ten współczynnik. Wyrażenie z trzema iksami w nawiasie daje dziewięć iksów w kwadracie, a nie trzy. Ten sam błąd wraca przy sześcianie, gdzie współczynnik podnosi się do trzeciej potęgi.
Suma kwadratów nie rozkłada się na czynniki
Różnica kwadratów rozkłada się na iloczyn sumy i różnicy, ale suma kwadratów w liczbach rzeczywistych rozkładu nie ma. Wypisanie iloczynu dwóch nawiasów z plusami jest błędem merytorycznym. W zadaniach na prawdę i fałsz to rozróżnienie jest samo w sobie punktowane.
Najczęściej zadawane pytania
Podstawowe trzy to kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów. Formuła 2023 dokłada sześcian sumy i sześcian różnicy oraz sumę i różnicę sześcianów. Wszystkie są w tablicach maturalnych, ale rozpoznanie, który pasuje, jest już po stronie zdającego.
Tak, komplet wzorów znajduje się w karcie wzorów wydawanej na egzaminie. Nie zwalnia to jednak z umiejętności ich stosowania w obie strony, bo zadania wymagają rozpoznania wzoru w wyrażeniu, a nie jego przepisania.
Sprawdź, czy skrajne wyrazy są kwadratami. Jeżeli tak i środkowy wyraz jest ich podwojonym iloczynem, wyrażenie zwija się do kwadratu dwumianu. Jeżeli wyrazu środkowego nie ma, a między kwadratami stoi minus, jest to różnica kwadratów.
Kwadrat sumy ma trzy wyrazy, bo zawiera podwojony iloczyn składników. Suma kwadratów ma dwa wyrazy i jest od niego mniejsza dla dodatnich składników. Mylenie tych dwóch wyrażeń jest najczęstszym błędem algebraicznym na maturze.
Najczęściej do usuwania niewymierności z mianownika i do szybkiego liczenia iloczynów liczb symetrycznych względem okrągłej wartości. Przydaje się także w rozkładzie na czynniki przy rozwiązywaniu równań, bo iloczyn równy zeru natychmiast daje pierwiastki.