Wyrażenia wymierne na maturze - dziedzina, skracanie i działania

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów, np. $\frac{x+2}{x-3}$. Dziedzinę takiego wyrażenia wyznaczasz, przyrównując mianownik do zera i wykluczając otrzymane rozwiązania ze zbioru liczb rzeczywistych. Skracasz je tak jak zwykłe ułamki: rozkładasz licznik i mianownik na czynniki i eliminujesz te same czynniki, ale dziedzinę zawsze ustalasz na podstawie wyjściowego wzoru, jeszcze przed skróceniem.

Ten temat pojawia się na maturze podstawowej regularnie, zarówno w zadaniach zamkniętych (np. wskaż dziedzinę), jak i w zadaniach otwartych, gdzie trzeba wykonać kilka działań na ułamkach algebraicznych naraz. Bez pewnego opanowania wzorów skróconego mnożenia i rozkładu wielomianu na czynniki trudno tu o dobry wynik, bo cała trudność w wyrażeniach wymiernych to właśnie sprawne faktoryzowanie. W tym artykule pokażę ci pełny algorytm wyznaczania dziedziny, zasady skracania i wszystkie cztery działania na ułamkach algebraicznych na 5 przykładach maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

Co to jest wyrażenie wymierne i jak wyznaczyć jego dziedzinę

Wyrażenie wymierne to wyrażenie postaci $\frac{W(x)}{V(x)}$, gdzie $W(x)$ i $V(x)$ są wielomianami, a $V(x)$ nie jest wielomianem zerowym. Dziedziną takiego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik $V(x)$ jest różny od zera. Żeby ją wyznaczyć, rozwiązujesz równanie $V(x) = 0$ i wykluczasz otrzymane rozwiązania ze zbioru $\mathbb{R}$.

Na przykład dla wyrażenia $\frac{x+2}{x^2-9}$ rozwiązujesz $x^2-9=0$, czyli $x=3$ lub $x=-3$. Dziedziną jest więc $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.

Jeśli mianownik jest bardziej rozbudowany, np. $x^2+x-6$, najpierw rozkładasz go na czynniki: $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, a dopiero potem przyrównujesz każdy czynnik do zera osobno: $x=-3$ lub $x=2$.

Jak skracać wyrażenia wymierne (upraszczanie ułamków algebraicznych)

Wyrażenie wymierne skracasz dokładnie tak jak ułamek liczbowy: rozkładasz licznik i mianownik na czynniki, a potem eliminujesz czynniki, które występują w obu miejscach. Najważniejsza zasada: dziedzinę wyznaczasz zawsze na podstawie wyjściowego, nieskróconego wyrażenia, bo skrócenie może ukryć punkt, w którym wyrażenie traci sens.

Weźmy $\frac{x^2-9}{x^2+x-6}$. Rozkładasz: licznik $(x-3)(x+3)$ (różnica kwadratów), mianownik $(x+3)(x-2)$. Dziedzina, jeszcze z wyjściowego mianownika: $x \neq -3$ i $x \neq 2$. Po skróceniu wspólnego czynnika $(x+3)$:

$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-2)} = \frac{x-3}{x-2}$

dla $x \neq -3$ i $x \neq 2$.

Zwróć uwagę, że w wyniku $\frac{x-3}{x-2}$ formalnie widać tylko warunek $x \neq 2$, ale $x = -3$ też trzeba wykluczyć, bo pochodzi z dziedziny wyjściowego wyrażenia. To najczęstszy błąd przy skracaniu wyrażeń wymiernych.

Do rozkładania na czynniki wykorzystujesz wzory skróconego mnożenia, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, grupowanie wyrazów, a przy wielomianach wyższego stopnia dzielenie wielomianów i twierdzenie Bezouta.

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne dodajesz i odejmujesz jak zwykłe ułamki: sprowadzasz je do wspólnego mianownika, czyli iloczynu wszystkich różnych czynników w najwyższej potędze, a potem dodajesz lub odejmujesz liczniki. Dziedziną całego wyrażenia jest część wspólna dziedzin obu składników.

Przykład: $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1}$, dla $x \neq 1$ i $x \neq -1$. Wspólny mianownik to $(x-1)(x+1)$:

$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{(x+1) + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1+2x-2}{x^2-1} = \frac{3x-1}{x^2-1}$

dla $x \neq \pm 1$.

Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne mnożysz, mnożąc liczniki przez siebie i mianowniki przez siebie, a dzielisz, mnożąc przez odwrotność drugiego ułamka. W obu przypadkach najpierw warto rozłożyć wszystko na czynniki i skrócić, co się da, zanim wymnożysz nawiasy, inaczej dostaniesz niepotrzebnie duży wielomian.

Przykład mnożenia: $\frac{x^2-4}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-2}$. Rozkładasz $x^2-4=(x-2)(x+2)$:

$\frac{(x-2)(x+2)}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-2} = x+2$

dla $x \neq -3$ i $x \neq 2$.

Przy dzieleniu $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ pamiętaj o dodatkowym warunku: dzielnik $\frac{C}{D}$ też nie może być zerem, więc do dziedziny dochodzi jeszcze warunek $C \neq 0$.

Zadanie 1: Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego

Zadanie: Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego $\frac{2x-1}{x^2-5x+6}$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Rozłóż mianownik na czynniki

   Szukasz dwóch liczb, których suma to $-5$, a iloczyn $6$. To $-2$ i $-3$, więc $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$.

2. Krok 2

   Przyrównaj każdy czynnik do zera

   $x-2=0$ daje $x=2$, $x-3=0$ daje $x=3$.

3. Krok 3

   Zapisz dziedzinę

   Wykluczasz oba miejsca zerowe mianownika ze zbioru liczb rzeczywistych.

Odpowiedź:

$D = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 2: Skróć wyrażenie wymierne

Zadanie: Skróć wyrażenie $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$ i podaj jego dziedzinę.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Rozłóż licznik

   To wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: $x^2-4x+4=(x-2)^2$.

2. Krok 2

   Rozłóż mianownik

   To różnica kwadratów: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

3. Krok 3

   Wyznacz dziedzinę z wyjściowego mianownika

   $x \neq 2$ i $x \neq -2$.

4. Krok 4

   Skróć wspólny czynnik $(x-2)$

   $\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$

Odpowiedź:

$\frac{x-2}{x+2}$, dla $x \neq 2$ i $x \neq -2$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 3: Dodaj wyrażenia wymierne o różnych mianownikach

Zadanie: Wykonaj działanie i podaj wynik w najprostszej postaci: $\frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1}$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Wyznacz dziedzinę

   $x \neq 2$ i $x \neq -1$.

2. Krok 2

   Wyznacz wspólny mianownik

   Czynniki się nie powtarzają, więc wspólny mianownik to iloczyn $(x-2)(x+1)$.

3. Krok 3

   Sprowadź oba ułamki do wspólnego mianownika i dodaj liczniki

   $\frac{3(x+1) + 1(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{3x+3+x-2}{(x-2)(x+1)} = \frac{4x+1}{x^2-x-2}$

Odpowiedź:

$\frac{4x+1}{x^2-x-2}$, dla $x \neq 2$ i $x \neq -1$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 4: Wykonaj dzielenie wyrażeń wymiernych

Zadanie: Wykonaj działanie: $\frac{x^2-9}{2x} : \frac{x+3}{4x^2}$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Wyznacz dziedzinę

   Mianownik pierwszego ułamka daje $x \neq 0$. Dzielnik $\frac{x+3}{4x^2}$ nie może być zerem, więc dodatkowo $x \neq -3$.

2. Krok 2

   Zamień dzielenie na mnożenie przez odwrotność

   $\frac{x^2-9}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x+3}$
3. Krok 3

   Rozłóż licznik pierwszego ułamka

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

4. Krok 4

   Skróć wspólne czynniki $(x+3)$ oraz $2x$ z $4x^2$

   $\frac{(x-3)(x+3)}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x+3} = (x-3) \cdot 2x = 2x^2-6x$

Odpowiedź:

$2x^2-6x$, dla $x \neq 0$ i $x \neq -3$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 5: Wyznacz dziedzinę i uprość wyrażenie złożone

Zadanie: Dla wyrażenia $W(x) = \frac{x+1}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$ wyznacz dziedzinę i doprowadź $W(x)$ do najprostszej postaci.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   Rozłóż mianownik pierwszego ułamka

   $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

2. Krok 2

   Wyznacz dziedzinę

   Z pierwszego ułamka: $x \neq 1$ i $x \neq -1$. Z drugiego: $x \neq 1$. Łącznie: $x \neq 1$ i $x \neq -1$.

3. Krok 3

   Skróć pierwszy ułamek

   $\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}$
4. Krok 4

   Odejmij

   $W(x) = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-1} = 0$

Odpowiedź:

$W(x) = 0$ dla każdego $x$ z dziedziny $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

To ważna pułapka: mimo że wyrażenie upraszcza się do stałej $0$, dziedzina i tak wyklucza $x=1$ oraz $x=-1$. Te dwa punkty nie należą do rozwiązania, mimo że wynik wygląda banalnie.

Wylosuj podobne zadanie

Typowe błędy przy wyrażeniach wymiernych

• •Wyznaczanie dziedziny po skróceniu zamiast na podstawie wyjściowego wzoru. To najczęstszy błąd na maturze, bo skrócony ułamek gubi część wykluczeń.
• •Skracanie pojedynczych wyrazów zamiast całych czynników, np. próba skrócenia $\frac{x+2}{x+3}$ do $\frac{2}{3}$. To niedozwolone, skracać można tylko wspólne czynniki całego licznika i całego mianownika.
• •Zapominanie o dodatkowym warunku na dzielnik przy dzieleniu ułamków algebraicznych.
• •Błędny rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki, np. pomylenie znaków przy szukaniu dwóch liczb o zadanej sumie i iloczynie.
• •Pomijanie mianownika przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika większej liczby ułamków naraz.

Najczęstsze pytania

Checklista: co musisz umieć

Chcesz przećwiczyć więcej? Sprawdź wzory skróconego mnożenia i ich zastosowania, naucz się sprawnie rozkładać wielomiany na czynniki, a jeśli szukasz kolejnego wymagającego tematu z tego działu, zobacz jak radzić sobie z nierównościami wymiernymi na maturze. Pełną bazę zadań z tego działu znajdziesz na stronie wyrażeń algebraicznych.

Następny krok Losuj kolejne zadanie