Okrąg o środku w punkcie S=(-3,4) jest styczny do prostej o równaniu y=-4/3 x+25/3 . Oblicz współrzędne punktu styczności.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (1,7)
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-27.png]
Dane: - środek okręgu: S = (-3, 4) - prosta: y = -4/3 x + 25/3
Krok 2: Zapisanie prostej w postaci ogólnej
y = -4/3 x + 25/3
Mnożymy przez 3:
3y = -4x + 25
4x + 3y - 25 = 0
Krok 3: Obliczenie odległości środka od prostej
Odległość punktu S = (x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0 wynosi:
d = (|Ax₀ + By₀ + C|)/(√(A² + B²))
Podstawiamy A = 4, B = 3, C = -25 oraz S = (-3, 4) :
r = (|4 · (-3) + 3 · 4 - 25|)/(√(4² + 3²)) = (|-12 + 12 - 25|)/(√(16 + 9)) = (|-25|)/5 = 5
Promień okręgu wynosi r = 5 .
Krok 4: Znalezienie prostej prostopadłej
Prosta prostopadła do danej prostej przechodząca przez punkt S ma współczynnik kierunkowy:
m_(⊥) = -1/m = -1/(-4/3) = 3/4
Równanie prostej prostopadłej przez S = (-3, 4) :
y - 4 = 3/4(x - (-3))
y - 4 = 3/4(x + 3)
y = 3/4 x + 9/4 + 4 = 3/4 x + 25/4
Krok 5: Znalezienie punktu przecięcia
Punkt styczności to przecięcie prostej y = -4/3 x + 25/3 z prostą y = 3/4 x + 25/4 :
-4/3 x + 25/3 = 3/4 x + 25/4
Mnożymy przez 12:
-16x + 100 = 9x + 75
100 - 75 = 9x + 16x
25 = 25x
x = 1
Podstawiamy do równania prostej prostopadłej:
y = 3/4 · 1 + 25/4 = (3 + 25)/4 = 28/4 = 7
Odpowiedź: Punkt styczności ma współrzędne (1, 7) .
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.