Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości 9 jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.36π
- B.9π
- C.18√(3)π
- D.12π
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-14.png]
## Krok 2: Związek między wysokością a bokiem trójkąta równobocznego
W trójkącie równobocznym o boku a wysokość wynosi: h = a√(3)/2
Mamy h = 9, więc: 9 = a√(3)/2
a = 18/√(3) = 18√(3)/3 = 6√(3)
## Krok 3: Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym
Dla trójkąta równobocznego o boku a promień okręgu opisanego wynosi: R = a/√(3)
Możemy też użyć związku z wysokością. Ponieważ a = 6√(3): R = 6√(3)/√(3) = 6
Alternatywnie: W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku 2:1 od wierzchołka, więc: R = 2/3 h = 2/3 · 9 = 6
## Krok 4: Pole koła opisanego
P = πR² = π · 6² = 36π
Odpowiedź: A
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.