Cechy przystawania trójkątów BBB, BKB i KBK - jak udowodnić, że trójkąty są przystające (zadania maturalne)

Dwa trójkąty są przystające, gdy mają odpowiednio równe wszystkie trzy boki i wszystkie trzy kąty, czyli jeden można nałożyć na drugi tak, że pokryją się w całości. Żeby to wykazać, nie sprawdzasz sześciu równości. Wystarczy jedna z trzech cech przystawania: BBB (trzy pary równych boków), BKB (dwie pary równych boków i równy kąt między nimi) albo KBK (para równych boków i równe kąty przy obu końcach tego boku). Z przystawania wynika, że pozostałe odpowiadające sobie boki i kąty też są równe, i właśnie tak rozwiązuje się zadania typu „Wykaż, że $|AD| = |BE|$”.

Na maturze podstawowej cechy przystawania są narzędziem w zadaniach dowodowych z planimetrii. W maju 2010 (zadanie 28) trzeba było wykazać równość odcinków w dwóch trójkątach prostokątnych równoramiennych, w czerwcu 2019 (zadanie 28) równość odległości dwóch punktów od prostej, a w maju 2014 (zadanie 31) zależność między kątami w trójkącie wpisanym w okrąg. Każde z tych zadań było warte 2 punkty i każde rozwiązujesz tak samo: znajdujesz dwa trójkąty przystające i nazywasz cechę. Podobieństwo, czyli „ten sam kształt, inna wielkość”, ma osobny wpis o cechach podobieństwa trójkątów. Tutaj chodzi o przypadek, w którym skala jest równa $1$.

Co to znaczy, że trójkąty są przystające

Trójkąty $ABC$ i $KLM$ są przystające, gdy $|AB| = |KL|$, $|BC| = |LM|$, $|CA| = |MK|$ oraz $\angle A = \angle K$, $\angle B = \angle L$, $\angle C = \angle M$. Zapisujesz to jako $\triangle ABC \equiv \triangle KLM$. Kolejność liter ma znaczenie: pierwszy wierzchołek odpowiada pierwszemu, drugi drugiemu, trzeci trzeciemu. Zapis $\triangle ABC \equiv \triangle KLM$ mówi więc, że bok $AB$ odpowiada bokowi $KL$, a kąt przy $C$ kątowi przy $M$.

Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa ze skalą $k = 1$. Trójkąty przystające nie muszą leżeć obok siebie ani być tak samo obrócone. Jeden może być lustrzanym odbiciem drugiego, a nadal są przystające.

Trzy cechy przystawania trójkątów

Cecha BBB (bok-bok-bok): jeśli trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednio trzem bokom drugiego, trójkąty są przystające. Trzy długości wyznaczają trójkąt jednoznacznie, więc kąty nie mają tu wyboru.

Cecha BKB (bok-kąt-bok): jeśli dwa boki jednego trójkąta i kąt między nimi są równe odpowiednio dwóm bokom drugiego trójkąta i kątowi między nimi, trójkąty są przystające. Słowo „między” jest w tej cesze najważniejsze: wierzchołek kąta musi być wspólnym końcem obu boków.

Cecha KBK (kąt-bok-kąt): jeśli bok jednego trójkąta i dwa kąty przy jego końcach są równe odpowiednio bokowi drugiego trójkąta i dwóm kątom przy jego końcach, trójkąty są przystające.

Przy KBK przydaje się jedna obserwacja. Suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$, więc jeśli dwie pary kątów są równe, to trzecia też. Masz wtedy równe wszystkie kąty i wystarczy jedna para odpowiadających sobie boków, czyli boków leżących naprzeciw równych kątów. Dlatego gdy w dowodzie masz dwa równe kąty i bok, który nie leży między nimi, najpierw dopisz równość trzecich kątów, a dopiero potem powołaj się na KBK.

Dlaczego nie ma cechy BBK ani KKK

Trzy równe kąty (KKK) dają tylko podobieństwo. Trójkąt równoboczny o boku $1$ i trójkąt równoboczny o boku $5$ mają te same kąty, ale nie są przystające.

Dwa boki i kąt, który nie leży między nimi (BBK), też nie wystarczą. Weź kąt $\angle A = 30^\circ$, bok $|AB| = 8$ i bok $|BC| = 5$. Z twierdzenia cosinusów dla boku $BC$ dostajesz równanie na $x = |AC|$:

$25 = 64 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos 30^\circ \quad \Rightarrow \quad x^2 - 8\sqrt{3}\,x + 39 = 0$

Wyróżnik jest dodatni, $\Delta = 192 - 156 = 36$, więc równanie ma dwa rozwiązania: $x = 4\sqrt{3} + 3$ i $x = 4\sqrt{3} - 3$. Dwa różne trójkąty mają te same dane BBK, więc z takich danych przystawania nie wyprowadzisz. To typowy błąd w dowodach: wypisane są dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich, a obok podpis „cecha BKB”.

Skąd brać równości w dowodzie

Zanim powołasz się na cechę, potrzebujesz trzech równości, a każda musi mieć uzasadnienie. W zadaniach maturalnych biorą się prawie zawsze z tych źródeł:

• •wspólny bok dwóch trójkątów,
• •kąty wierzchołkowe przy przecięciu dwóch prostych,
• •boki tej samej figury: kwadratu, trójkąta równobocznego, rombu, ramiona trójkąta równoramiennego,
• •środek odcinka, który dzieli go na dwie równe części,
• •kąty naprzemianległe albo odpowiadające przy prostych równoległych,
• •promienie tego samego okręgu,
• •kąty, które uzupełniają ten sam kąt do $90^\circ$ albo do $180^\circ$.

Ostatnie źródło łatwo przegapić. Jeśli $\alpha + \beta = 90^\circ$ i $\gamma + \beta = 90^\circ$, to $\alpha = \gamma$, choć żadnego z tych kątów nie znasz. Tak samo działają kąty przyległe: kąty przyległe do równych kątów są równe. Więcej o kątach przy prostych równoległych i w okręgu znajdziesz we wpisie o kątach w figurach na maturze.

Przystawanie stoi też za twierdzeniem o odcinkach stycznych. Jeśli z punktu $P$ poprowadzisz dwie styczne do okręgu o środku $O$, dotykające go w punktach $A$ i $B$, to trójkąty $OAP$ i $OBP$ są prostokątne, bo promień jest prostopadły do stycznej. Mają wspólną przeciwprostokątną $OP$ i równe przyprostokątne $|OA| = |OB|$, więc z twierdzenia Pitagorasa także $|PA| = |PB|$ i trójkąty są przystające z cechy BBB. Z tej równości korzystasz przy okręgu wpisanym w trójkąt, opisanym we wpisie o promieniu okręgu wpisanego i opisanego.

Jak zapisać dowód z przystawaniem

Dowód z trójkątami przystającymi ma zawsze ten sam szkielet:

1. 1.Nazwij dwa trójkąty, w których leżą odcinki albo kąty z tezy. Odcinki z tezy mają być w nich odpowiadającymi sobie bokami.
2. 2.Wypisz trzy równości i przy każdej napisz, z czego wynika.
3. 3.Sprawdź układ: przy BKB kąt leży między bokami, przy KBK bok leży między kątami. Nazwij cechę.
4. 4.Zapisz wniosek: z przystawania trójkątów wynika równość odpowiadających boków, czyli teza.

Sama obserwacja, że trójkąty wyglądają na przystające, nie jest dowodem, a rozumowanie bez wskazania cechy jest niepełne. Ogólne zasady zapisu dowodu, w tym jak oddzielić założenia od tezy, opisuje wpis jak pisać dowody matematyczne na maturze.

Wzory

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z planimetrii z arkuszy maturalnych, w których przydają się odcinki styczne, trójkąty równoramienne i porównywanie trójkątów. Wszystkie zadania z geometrii płaskiej znajdziesz w dziale planimetria, a rozwiązania innych zadań typu „wykaż” we wpisie o zadaniach dowodowych z matury.

• Matura prób. Operon lis 20114 pkt
  Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny $ABC$ jest styczny do przeciwprostokątnej $AB$ w punkcie $K$. Wiadomo, że $|AK| = 4$ i $|KB| = 6$. Oblicz promień tego okręgu.
• Matura sie 20212 pkt
  W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty, a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $30^\circ$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkt $D$ tak, że miara kąta $CDA$ jest równa $60^\circ$ oraz $|AD|=6$ (zobacz rysunek). Oblicz $|BD|$.
• Matura prób. mar 20212 pkt
  Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=|CD|=|AD|=13$ (zobacz rysunek). Przekątna $BD$ tego czworokąta ma długość $10$ i jest prostopadła do boku $AD$. Oblicz pole czworokąta $ABCD$.
• Matura sie 20222 pkt
  Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości $24$. Punkt $E$ leży na boku $AB$, a punkt $F$ - na boku $BC$ tego trójkąta. Odcinek $EF$ jest równoległy do boku $AC$ i przechodzi przez środek $S$ wysokości $CD$ trójkąta $ABC$ (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka $EF$.
• Matura cze 20252 pkt
  Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10,\,24,\,26$ (zobacz rysunek).
  
  a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
  
  Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa
  
  A. $\frac{10}{3}$
  B. $4$
  C. $5$
  D. $\frac{80}{13}$
  
  b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
  
  Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa
  
  A. $\frac{80}{13}$
  B. $\frac{20}{3}$
  C. $12$
  D. $13$
• Matura prób. Operon lis 20131 pkt
  W trójkącie równoramiennym $ABC$ o wysokościach $CD$ i $AE$ podstawa $AB$ ma długość $8$ cm, a odcinek $BE$ ma długość $3$ cm. Długość odcinka $AC$ jest równa:

Następny krok Losuj kolejne zadanie z planimetrii

Najczęstsze pytania