Dany jest czworokąt ABCD, w którym |BC|=|CD|=|AD|=13 (zobacz rysunek). Przekątna BD tego czworokąta ma długość 10 i jest prostopadła do boku AD. Oblicz pole czworokąta ABCD.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 125
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dorysowując wskazaną w zadaniu przekątną BD otrzymamy tak naprawdę dwa trójkąty - prostokątny ABD oraz równoramienny BCD.
Chcąc poznać pole całego czworokąta, musimy poznać pola tych dwóch trójkątów.
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta ABD.
Tutaj sprawa jest prosta - korzystamy ze standardowego wzoru na pole trójkąta:
P_(ABD)=1/2 ah P_(ABD)=1/2 · 13 · 10 P_(ABD)=65
Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta BCD.
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość przecina podstawę trójkąta na dwie równe części. Skoro tak, to powstanie nam taka oto sytuacja:
Widzimy wyraźnie, że powstały nam tutaj dwa podobne trójkąty prostokątne, zatem wysokość trójkąta BCD obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
5²+h²=13² 25+h²=169 h²=144 h=12 h=-12
Ujemną wartość odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia, zatem h=12.
Krok 4. Obliczenie pola trójkąta BCD.
Znamy już wysokość tego trójkąta, czyli h=12. Wiemy też, że podstawa ma długość a=10, zatem:
P_(BCD)=1/2 ah P_(BCD)=1/2 · 10 · 12 P_(BCD)=60
Krok 5. Obliczenie pola czworokąta.
Na koniec została już tylko formalność. Pole czworokąta ABCD jest sumą pól trójkątów ABD oraz BCD, zatem:
P_(ABCD)=P_(ABD)+P_(BCD) P_(ABCD)=65+60 P_(ABCD)=125
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.