Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości a i b. Punkt O leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że promień r tego okręgu jest równy ab/(a+b)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jedną z własności stycznych do okręgu jest to, że promień okręgu tworzy ze styczną kąt prosty. To oznacza, że na rysunku powstanie nam taka oto sytuacja:
Co więcej, możemy w takim razie podpisać dwa odcinki jako a-r oraz b-r:
Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy teraz zauważyć, że na rysunku mamy tak naprawdę dwa podobne trójkąty prostokątne. Skąd wiemy, że są one podobne? Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt (obydwa mają kąt prosty, obydwa mają wspólny kąt ostry między bokiem b oraz przeciwprostokątną, zatem i trzecia miara kątów musi być wspólna).
Krok 3. Wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów.
Korzystając z cech trójkątów podobnych możemy zapisać, że stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta musi być taki sam, jak stosunek długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, zatem:
a/b=r/(b-r)
Długości boków są zawsze dodatnie, więc bez obaw możemy teraz wykonać mnożenie na krzyż:
a · (b-r)=br ab-ar=br ab=ar+br ab=r(a+b) r=ab/(a+b)
Otrzymaliśmy pożądaną postać, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.