Ostrosłupy prawidłowe trójkątne O₁ i O₂ mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa O₁ jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa O₂. Stosunek objętości ostrosłupa O₁ do objętości ostrosłupa O₂ jest równy
Odpowiedzi do wyboru
- A.3:1
- B.1:3
- C.9:1
- D.1:9
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1. Obliczenie pól podstaw obu ostrosłupów.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w swojej podstawie trójkąt równoboczny. Wzór na pole takiego trójkąta to P=a²√(3)/4.
Z treści zadania wynika, że krawędź podstawy ostrosłupa O₁ (czyli krawędź trójkąta równobocznego) ma długość 3a, natomiast ostrosłupa O₂ ma długość a. Skoro tak, to pola podstaw tych ostrosłupów będą równe:
P_(p1)=(3a)²√(3)/4=9a²√(3)/4 P_(p2)=a²√(3)/4
Krok 2. Zapisanie objętości ostrosłupów.
Korzystając ze wzoru na objętość V=1/3 P_p · H możemy zapisać, że:
V₁=1/3 · 9a²√(3)/4 · H V₁=9a²√(3)/12 · H
V₂=1/3 · a²√(3)/4 · H V₂=a²√(3)/12 · H
Krok 3. Obliczenie stosunku objętości.
Interesuje nas stosunek objętości ostrosłupa O₁ do objętości ostrosłupa O₂. Porównując obliczone przed chwilą objętości widzimy wyraźnie, że V₁ jest 9 razy większe od V₂ (to przez tą dziewiątkę, która stoi przed a²), stąd też stosunek objętości na pewno wynosi 9:1. Gdybyśmy nie byli tego pewni, to zawsze możemy rozpisać to w ten sposób:
V₁/V₂=9a²√(3)/12 · H/(a²√(3)/12 · H)=9a²√(3)/12:a²√(3)/12=9a²√(3)/12 · 12/a²√(3)=9/1
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.