Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą DE równoległą do podstawy AB (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta CDE jest równy
Odpowiedzi do wyboru
- A.9:4
- B.4:1
- C.4:9
- D.3:2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i wykorzystanie własności trójkątów równobocznych.
Powinniśmy dostrzec, że skoro prosta DE jest równoległą do podstawy AB, to trójkąt DEC jest podobny do trójkąta ABC.
Dodatkowo z własności trójkątów równobocznych wiemy, że odległość od punktu przecięcia się wysokości aż do wierzchołka, stanowi 2/3 h. Skoro tak i skoro trójkąty ABC oraz DEC są podobne, to analogicznie podstawa DE będzie stanowić 2/3 długości podstawy AB.
Z naszych analiz wynika więc, że mamy taką oto sytuację:
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkątów ABC oraz DEC.
Ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
P_(ABC)=1/2 ah oraz P_(DEC)=1/2 · 2/3 a · 2/3 h P_(DEC)=4/18 ah
Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni trójkątów ABC oraz DEC.
Interesuje nas stosunek pól tych dwóch trójkątów, zatem:
P_(ABC)/P_(DEC)=1/2 ah/(4/18 ah)=1/2/(4/18)=1/2:4/18=1/2 · 18/4=18/8=9/4
To oznacza, że stosunek tych dwóch pól jest równy 9:4.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.