Rosnący ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa 10. Wyrazy a₃, a₅, a₁₃ tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n).

Krok 1. Obliczenie wartości a₃.

Z treści zadania wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest równa 10, czyli:

S₅=10 a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=10

Spróbujmy teraz każdy z tych wyrazów powiązać z a₃. Dlaczego akurat z a₃? Jest to wyraz, który bardzo nam pasuje, bo nie dość, że jest środkowym wyrazem tej sumy (co jak się za chwilę okaże, ma spore znaczenie), to jeszcze występuje w ciągu geometrycznym. Z własności ciągów wiemy, że:

a₁=a₃-2r a₂=a₃-r a₄=a₃+r a₅=a₃+2r

Możemy więc zapisać, że:

a₃-2r+a₃-r+a₃+a₃+r+a₃+2r=10

Wartości r występujące w równaniu tak naprawdę się nam skrócą i zostanie jedynie niewiadoma a₃, zatem:

5a₃=10 a₃=2

Krok 2. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.

Paradoksalnie, różnicę ciągu arytmetycznego obliczymy korzystając z informacji na temat ciągu geometrycznego. Rozpiszmy sobie wartości a₅ i a₁₃, powiązując je z a₃ (którego wartość już znamy, bowiem a₃=2):

a₅=a₃+2r=2+2r a₁₃=a₃+10r=2+10r

Wiemy, że a₃, a₅, a₁₃ tworząc ciąg geometryczny. Możemy skorzystać z jednej z własności ciągów geometrycznych i zapisać, że w takim razie:

a₅/a₃=a₁₃/a₅ (2+2r)/2=(2+10r)/(2+2r)

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:

(2+2r) · (2+2r)=2 · (2+10r)

Po lewej stronie równania możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)=a²+2ab+b², zatem:

4+8r+4r²=4+20r 4r²-12r=0 r²-3r=0

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Oczywiście możemy to zrobić przy pomocy delty (pamiętając, że tutaj współczynnik c=0), ale wiemy już, że takie równania kwadratowe możemy rozwiązać w znacznie prostszy sposób, wyłączając r przed nawias:

r²-3r=0 r · (r-3)=0 r=0 r-3=0 r=0 r=3

Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.

Otrzymaliśmy dwa wyniki, ale czy oba nam pasują? Z treści zadania wynika, że ciąg arytmetyczny jest rosnący, a to sprawia, że na pewno r nie może być równe 0, bo dla r=0 nasz ciąg byłby stały. W związku z tym jedynym pasującym rozwiązaniem będzie r=3.

Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.

Skorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n=a₁+(n-1) · r

Widzimy, że musimy poznać jeszcze wartość a₁, a skoro a₃=2 oraz r=3, to:

a₁=a₃-2r a₁=2-2 · 3 a₁=2-6 a₁=-4

Teraz możemy podstawić a₁=-4 oraz r=3 do wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, otrzymując:

a_n=-4+(n-1) · 3 a_n=-4+3n-3 a_n=3n-7