Ciągi (a_n), (b_n) oraz (c_n) są określone dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 następująco: a_n=6n²-n³ b_n=2n+13 c_n=2^n Wskaż zdanie prawdziwe.
Odpowiedzi do wyboru
- A.Ciąg (a_n) jest arytmetyczny.
- B.Ciąg (b_n) jest arytmetyczny.
- C.Ciąg (c_n) jest arytmetyczny.
- D.Wśród ciągów (a_n), (b_n), (c_n) nie ma ciągu arytmetycznego.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Teoretycznie już po samym wzorze powinniśmy się zorientować, że jedynie ciąg (b_n) jest arytmetyczny. Nie mniej jednak, aby nie było żadnych wątpliwości, dobrze jest sprawdzić sobie kilka początkowych wyrazów każdego ciągu. Przykładowo:
Ciąg a_n:
a₁=6 · 1²-1³=6-1=5 a₂=6 · 2²-2³=6 · 4-8=24-8=16 a₃=6 · 3²-3³=6 · 9-27=54-27=27 a₄=6 · 4²-4³=6 · 16-64=96-64=32
To nie jest ciąg arytmetyczny, bo a₂-a₁=11, natomiast a₄-a₃=5.
Ciąg b_n:
b₁=2 · 1+13=2+13=15 b₂=2 · 2+13=4+13=17 b₃=2 · 3+13=6+13=19 b₄=2 · 4+13=8+13=21
Tu wyraźnie widzimy, że każdy kolejny wyraz jest o 2 większy od poprzedniego i że tym samym jest to ciąg arytmetyczny, w którym r=2.
Ciąg c_n:
c₁=2¹=2 c₂=2²=4 c₃=2³=8 c₄=2⁴=16
To nie jest ciąg arytmetyczny, bo c₂-c₁=2, natomiast c₄-c₃=8.
Ciągiem arytmetycznym jest więc jedynie ciąg (b_n).
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.