Przekątne trapezu: trójkąty podobne i pola - matura

Q: W jakim stosunku dzielą się przekątne trapezu?

W stosunku długości podstaw. Jeśli przekątne trapezu ABCD o podstawach AB i CD przecinają się w punkcie S, to |AS| : |SC| = |BS| : |SD| = |AB| : |CD|. Wynika to z podobieństwa trójkątów ABS i CDS.

Q: Jak obliczyć pole trapezu, znając pola trójkątów przy podstawach?

Dodaj pierwiastki z tych pól i podnieś sumę do kwadratu: P_ABCD = (√P_1 + √P_2)². Dla pól 18 i 8 wychodzi (3√2 + 2√2)² = 50. Wzór bierze się stąd, że każdy z trójkątów przy ramionach ma pole √P_1 P_2.

Q: Jaki jest stosunek pola trójkąta przy ramieniu do pola trójkąta przy podstawie?

Równy skali k albo jej odwrotności, a nie jej kwadratowi. Trójkąty ADS i CDS mają wspólną wysokość z wierzchołka D, a ich boki AS i SC są w stosunku k, więc P_ADS : P_CDS = k i tak samo P_ABS : P_ADS = k. Kwadrat skali dotyczy tylko pary trójkątów podobnych, czyli tych przy podstawach. Wzory na pole trójkąta, z których tu korzystasz, zebrałem we wpisie pole trójkąta: 8 wzorów.

Przekątne trapezu $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$ i dzielą trapez na cztery trójkąty. Trójkąty przy podstawach, $ABS$ i $CDS$ , są podobne w skali $k = \frac{|AB|}{|CD|}$ , więc przekątne dzielą się w stosunku podstaw: $|AS| : |SC| = |BS| : |SD| = |AB| : |CD|$ , a pola tych dwóch trójkątów są w stosunku $k^2$ . Trójkąty przy ramionach, $ADS$ i $BCS$ , mają zawsze równe pola. Jeśli pole trójkąta $CDS$ oznaczysz przez $P$ , to cztery trójkąty mają pola $P$ , $kP$ , $kP$ i $k^2P$ , a cały trapez ma pole $P(k + 1)^2$ .

Na maturze podstawowej ten układ wraca zarówno w zadaniach zamkniętych typu prawda-fałsz, jak i w zadaniach otwartych. W arkuszach z sierpnia 2025 i z czerwca 2023 trzeba było ocenić zdania o polach i podobieństwie tych trójkątów, a w sierpniu 2021 obliczyć pole jednego z nich z podanego stosunku odcinków przekątnej. Poniżej masz uzasadnienie każdej z własności (przydaje się w zadaniach z poleceniem „uzasadnij” i „wykaż”), wzory, sześć rozwiązanych przykładów i pułapki, przez które najczęściej wychodzi zły wynik.

Dlaczego trójkąty przy podstawach są podobne

Trójkąty $ABS$ i $CDS$ są podobne z cechy kąt-kąt-kąt. Kąty $ASB$ i $CSD$ są wierzchołkowe, więc równe. Podstawy trapezu są równoległe, a przekątna $AC$ przecina obie, więc kąty $BAC$ i $DCA$ są naprzemianległe i też równe. Tak samo przekątna $BD$ daje równe kąty $ABD$ i $CDB$ .

Z podobieństwa wynika, że odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Bokowi $AB$ w jednym trójkącie odpowiada $CD$ w drugim, odcinkowi $AS$ odpowiada $CS$ , a odcinkowi $BS$ odpowiada $DS$ :

\frac{|AS|}{|CS|} = \frac{|BS|}{|DS|} = \frac{|AB|}{|CD|} = k

Punkt $S$ dzieli więc obie przekątne w tym samym stosunku, równym stosunkowi podstaw. Jeśli dłuższa podstawa jest dwa razy dłuższa od krótszej, to punkt $S$ odcina od każdej przekątnej dwie trzecie jej długości po stronie dłuższej podstawy. Kolejność wierzchołków pilnuj tak samo jak w każdym zadaniu z trójkątami podobnymi: wierzchołek przy danym kącie w jednym trójkącie paruje się z wierzchołkiem przy równym kącie w drugim.

Dlaczego trójkąty przy ramionach mają równe pola

Trójkąty $ACD$ i $BCD$ mają wspólną podstawę $CD$ , a ich trzecie wierzchołki $A$ i $B$ leżą na prostej równoległej do $CD$ . Obie wysokości opuszczone na $CD$ są więc równe wysokości trapezu, a oba trójkąty mają równe pola. Każdy z nich zawiera trójkąt $CDS$ , a po jego odjęciu zostają trójkąty $ADS$ i $BCS$ , które też muszą mieć równe pola:

P_{ADS} = P_{ACD} - P_{CDS} = P_{BCD} - P_{CDS} = P_{BCS}

To działa w każdym trapezie, nie tylko w równoramiennym. W trapezie równoramiennym trójkąty $ADS$ i $BCS$ są dodatkowo przystające, ale do samej równości pól to niepotrzebne.

Pola czterech trójkątów: P, kP, kP i k²P

Trójkąty $CDS$ i $ADS$ mają wspólny wierzchołek $D$ , a ich boki $CS$ i $AS$ leżą na jednej prostej, przekątnej $AC$ . Wysokość opuszczona z $D$ na tę prostą jest dla obu wspólna, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi tych boków: $P_{ADS} : P_{CDS} = |AS| : |CS| = k$ .

Oznacz pole najmniejszego trójkąta, przy krótszej podstawie, przez $P = P_{CDS}$ . Wtedy:

• $P_{ADS} = kP$ , z twierdzenia o wspólnej wysokości,
• $P_{BCS} = kP$ , bo trójkąty przy ramionach mają równe pola,
• $P_{ABS} = k^2P$ , bo pola trójkątów podobnych są w stosunku kwadratu skali, o czym więcej we wpisie o stosunku pól figur podobnych.

Po zsumowaniu dostajesz pole trapezu: $P + kP + kP + k^2P = P(k^2 + 2k + 1) = P(k + 1)^2$ . Z tych samych równości wynika też, że $P_{ADS} \cdot P_{BCS} = k^2P^2 = P_{ABS} \cdot P_{CDS}$ , czyli pole trójkąta przy ramieniu to średnia geometryczna pól trójkątów przy podstawach.

Wzory

Stosunek odcinków przekątnych trapezu:

\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{|BS|}{|SD|} = \frac{|AB|}{|CD|} = k

Pola trójkątów przy podstawach:

\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^2

Pola trójkątów przy ramionach:

P_{ADS} = P_{BCS} = k \cdot P_{CDS}

Średnia geometryczna pól:

P_{ADS} = P_{BCS} = \sqrt{P_{ABS} \cdot P_{CDS}}

Pole trapezu z pól trójkątów:

P_{ABCD} = P_{CDS} \cdot (k + 1)^2 = \left(\sqrt{P_{ABS}} + \sqrt{P_{CDS}}\right)^2

Pole trapezu z podstaw i wysokości:

P_{ABCD} = \frac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h

Ostatni wzór przyda się, gdy zadanie łączy pola trójkątów z długościami podstaw. Możesz go sprawdzić w kalkulatorze poniżej.

Przykład 1: Równe pola i stosunek pól

0/6

Matura sierpień 2025Planimetria

Treść: Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $|AB| = 2 \cdot |CD|$ . Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ . Oceń prawdziwość zdań. Zdanie 1: pola trójkątów $BCE$ oraz $AED$ są równe. Zdanie 2: pole trójkąta $ABE$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $CDE$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zdanie pierwsze
Trójkąty $ACD$ i $BCD$ mają wspólną podstawę $CD$ i wysokość równą wysokości trapezu, więc mają równe pola. Po odjęciu wspólnego trójkąta $CDE$ zostają trójkąty $AED$ i $BCE$ , które też mają równe pola. Zdanie jest prawdziwe.
Krok 2
Zdanie drugie
Trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne w skali $k = \frac{|AB|}{|CD|} = 2$ . Pola figur podobnych są w stosunku $k^2 = 4$ , a nie $k = 2$ . Pole trójkąta $ABE$ jest cztery razy większe, więc zdanie jest fałszywe.

Odpowiedź

zdanie 1 jest prawdziwe (P), zdanie 2 jest fałszywe (F).

Przykład 2: Podobieństwo i równe pola dużych trójkątów

0/6

Matura czerwiec 2023Planimetria

Treść: W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne przecinają się w punkcie $E$ . Oceń prawdziwość zdań. Zdanie 1: trójkąt $ABE$ jest podobny do trójkąta $CDE$ . Zdanie 2: pole trójkąta $ACD$ jest równe polu trójkąta $BCD$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zdanie pierwsze
Kąty $AEB$ i $CED$ są wierzchołkowe. Kąty $BAE$ i $DCE$ są naprzemianległe przy równoległych podstawach, tak samo kąty $ABE$ i $CDE$ . Cecha kąt-kąt-kąt daje podobieństwo, więc zdanie jest prawdziwe.
Krok 2
Zdanie drugie
Oba trójkąty mają podstawę $CD$ , a ich trzecie wierzchołki $A$ i $B$ leżą na prostej $AB$ , równoległej do $CD$ . Wysokości opuszczone na $CD$ są równe wysokości trapezu, więc pola są równe. Zdanie jest prawdziwe.

Odpowiedź

oba zdania są prawdziwe (P, P). To dokładnie te dwie własności, na których opiera się cały ten wpis.

Przykład 3: Pole małego trójkąta ze stosunku odcinków

0/6

Matura sierpień 2021Planimetria

Treść: Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ . Przekątne $AC$ i $BD$ tego trapezu przecinają się w punkcie $S$ tak, że $\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{3}{2}$ . Pole trójkąta $ABS$ jest równe $12$ . Oblicz pole trójkąta $CDS$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Ustal skalę podobieństwa
Trójkąty $ABS$ i $CDS$ są podobne, a odcinkowi $AS$ odpowiada odcinek $CS$ . Skala to $k = \frac{|AS|}{|CS|} = \frac{3}{2}$ , przy czym większy jest trójkąt $ABS$ .
Krok 2
Zapisz stosunek pól
$\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^2 = \frac{9}{4}$
Krok 3
Oblicz pole
$P_{CDS} = \frac{4}{9} \cdot 12 = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$

Odpowiedź

$P_{CDS} = \frac{16}{3}$ . Podzielenie pola przez $\frac{3}{2}$ zamiast przez $\frac{9}{4}$ daje błędny wynik $8$ .

Przykład 4: Pole trapezu z pól dwóch trójkątów

0/6

Planimetria

Treść: Przekątne trapezu $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$ . Pole trójkąta $ABS$ jest równe $18$ , a pole trójkąta $CDS$ jest równe $8$ . Oblicz pole trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Ustal skalę
Z ilorazu pól $k^2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$ , więc $k = \frac{3}{2}$ , bo skala podobieństwa jest dodatnia.
Krok 2
Oblicz pola trójkątów przy ramionach
$P_{ADS} = P_{BCS} = k \cdot P_{CDS} = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12$ . Kontrola ze średniej geometrycznej: $\sqrt{18 \cdot 8} = \sqrt{144} = 12$ .
Krok 3
Dodaj cztery pola
$P_{ABCD} = 18 + 8 + 12 + 12 = 50$ .
Krok 4
Sprawdź wzorem skróconym
$\left(\sqrt{18} + \sqrt{8}\right)^2 = \left(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\right)^2 = \left(5\sqrt{2}\right)^2 = 50$

Odpowiedź

pole trapezu jest równe $50$ .

Przykład 5: Pole trapezu z jednego trójkąta

0/6

Matura próbna grudzień 2014Planimetria

Treść: W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ takim, że $|AO| : |OC| = 5 : 1$ . Pole trójkąta $AOD$ jest równe $10$ . Uzasadnij, że pole trapezu $ABCD$ jest równe $72$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Oblicz pole trójkąta COD
Trójkąty $AOD$ i $COD$ mają wspólny wierzchołek $D$ , a ich boki $AO$ i $OC$ leżą na przekątnej $AC$ . Wspólna wysokość z $D$ daje $P_{AOD} : P_{COD} = 5 : 1$ , więc $P_{COD} = 2$ .
Krok 2
Oblicz pole trójkąta ABO
Trójkąty $ABO$ i $CDO$ są podobne w skali $k = \frac{|AO|}{|OC|} = 5$ , więc $P_{ABO} = 5^2 \cdot 2 = 50$ .
Krok 3
Oblicz pole trójkąta BOC
Trójkąty przy ramionach mają równe pola: $P_{BOC} = P_{AOD} = 10$ .
Krok 4
Dodaj pola
$P_{ABCD} = 50 + 10 + 10 + 2 = 72$

Odpowiedź

pole trapezu jest równe $72$ , co należało uzasadnić. Ten sam wynik daje wzór $P(k + 1)^2 = 2 \cdot 6^2 = 72$ .

Przykład 6: Stosunek pól z części przekątnej

0/6

Matura sierpień 2016Planimetria

Treść: W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne $AC$ oraz $BD$ przecinają się w punkcie $S$ . Wykaż, że jeżeli $|AS| = \frac{5}{6}|AC|$ , to pole trójkąta $ABS$ jest $25$ razy większe od pola trójkąta $DCS$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Podziel przekątną
Skoro $|AS| = \frac{5}{6}|AC|$ , to $|SC| = |AC| - |AS| = \frac{1}{6}|AC|$ , więc $\frac{|AS|}{|SC|} = 5$ .
Krok 2
Uzasadnij podobieństwo
Trójkąty $ABS$ i $CDS$ są podobne z cechy kąt-kąt-kąt: kąty przy $S$ są wierzchołkowe, a kąty przy podstawach naprzemianległe. Odcinkowi $AS$ odpowiada $CS$ , więc skala to $k = 5$ .
Krok 3
Zapisz stosunek pól
$\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}} = k^2 = 25$ , co kończy dowód.

Odpowiedź

pole trójkąta $ABS$ jest $25$ razy większe od pola trójkąta $DCS$ . W zadaniu na dowód zapisz uzasadnienie podobieństwa, czyli które kąty są równe i dlaczego, a nie tylko samą proporcję. Więcej o zapisie takich rozwiązań znajdziesz we wpisie o zadaniach dowodowych z matury.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Uzasadnić podobieństwo trójkątów przy podstawach kątami wierzchołkowymi i naprzemianległymi.
Zapisać, że przekątne trapezu dzielą się w stosunku długości podstaw.
Wykazać, że trójkąty przy ramionach trapezu mają równe pola.
Obliczyć stosunek pól trójkątów przy podstawach jako kwadrat skali podobieństwa.
Wyznaczyć pola wszystkich czterech trójkątów, znając pole jednego z nich i skalę.
Obliczyć pole trapezu jako sumę pól czterech trójkątów.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy, w których trapez i podobieństwo trójkątów działają razem: przedłużone ramiona trapezu równoramiennego, trapez prostokątny podzielony przekątną na trójkąty podobne i pole trójkąta podobnego ze skali. Jeśli chcesz najpierw powtórzyć podstawy, zajrzyj do wpisu jak obliczyć pole trapezu albo do twierdzenia Talesa, które działa na tej samej zasadzie proporcji. Pełną listę zadań z działu znajdziesz na stronie Planimetria.

Więcej zadań z działu Planimetria

Następny krok Losuj kolejne zadanie z planimetrii

Najczęstsze pytania

W jakim stosunku dzielą się przekątne trapezu?

W stosunku długości podstaw. Jeśli przekątne trapezu $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$ , to $|AS| : |SC| = |BS| : |SD| = |AB| : |CD|$ . Wynika to z podobieństwa trójkątów $ABS$ i $CDS$ .

Czy przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty o równych polach?

Nie wszystkie cztery. Równe pola mają zawsze dwa trójkąty przy ramionach, $ADS$ i $BCS$ . Trójkąty przy podstawach mają pola w stosunku $k^2$ , więc są równe tylko wtedy, gdy podstawy mają równą długość, a wtedy czworokąt jest równoległobokiem.

Jak obliczyć pole trapezu, znając pola trójkątów przy podstawach?

Dodaj pierwiastki z tych pól i podnieś sumę do kwadratu: $P_{ABCD} = \left(\sqrt{P_1} + \sqrt{P_2}\right)^2$ . Dla pól $18$ i $8$ wychodzi $\left(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\right)^2 = 50$ . Wzór bierze się stąd, że każdy z trójkątów przy ramionach ma pole $\sqrt{P_1 P_2}$ .

Czy te własności działają tylko w trapezie równoramiennym?

Nie, w każdym trapezie, bo korzystają wyłącznie z równoległości podstaw. W trapezie równoramiennym dochodzi dodatkowo równość przekątnych i przystawanie trójkątów przy ramionach.

Skąd wiadomo, że trójkąty przy podstawach trapezu są podobne?

Z cechy kąt-kąt-kąt. Kąty przy punkcie przecięcia przekątnych są wierzchołkowe, a kąty przy podstawach są naprzemianległe, bo podstawy są równoległe, a każda przekątna przecina obie. W zadaniu otwartym warto te trzy równości kątów wypisać.

Jaki jest stosunek pola trójkąta przy ramieniu do pola trójkąta przy podstawie?

Równy skali $k$ albo jej odwrotności, a nie jej kwadratowi. Trójkąty $ADS$ i $CDS$ mają wspólną wysokość z wierzchołka $D$ , a ich boki $AS$ i $SC$ są w stosunku $k$ , więc $P_{ADS} : P_{CDS} = k$ i tak samo $P_{ABS} : P_{ADS} = k$ . Kwadrat skali dotyczy tylko pary trójkątów podobnych, czyli tych przy podstawach. Wzory na pole trójkąta, z których tu korzystasz, zebrałem we wpisie pole trójkąta: 8 wzorów.

Przekątne trapezu - trójkąty podobne, stosunek odcinków i pola czterech trójkątów (zadania maturalne)

Dlaczego trójkąty przy podstawach są podobne

Dlaczego trójkąty przy ramionach mają równe pola

Pola czterech trójkątów: P, kP, kP i k²P

Wzory

Przykład 1: Równe pola i stosunek pól

Przykład 2: Podobieństwo i równe pola dużych trójkątów

Przykład 3: Pole małego trójkąta ze stosunku odcinków

Przykład 4: Pole trapezu z pól dwóch trójkątów

Przykład 5: Pole trapezu z jednego trójkąta

Przykład 6: Stosunek pól z części przekątnej

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Najczęstsze pytania

W jakim stosunku dzielą się przekątne trapezu?

Czy przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty o równych polach?

Jak obliczyć pole trapezu, znając pola trójkątów przy podstawach?

Czy te własności działają tylko w trapezie równoramiennym?

Skąd wiadomo, że trójkąty przy podstawach trapezu są podobne?

Jaki jest stosunek pola trójkąta przy ramieniu do pola trójkąta przy podstawie?

Kategoria: Planimetria

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Stosunek pól i objętości figur podobnych - skala k, k² i k³ w zadaniach maturalnych

Przekątna kwadratu i prostokąta - wzór, okrąg wpisany i opisany, zadania maturalne

Stosunek pól trójkątów - wspólna wysokość, wspólny kąt i zadania z matury rozszerzonej