Planimetria: artykuły maturalne

Przekątne trapezu przecinają się w punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku podstaw. Trójkąty przy podstawach są podobne, a te przy ramionach mają równe pola. Wzory na pola czterech trójkątów i pole trapezu, sześć rozwiązanych przykładów i pułapki ze skalą k i jej kwadratem.

Filip MaszotaCzas czytania: 9 minOpublikowano: 26 września 2026

Figury podobne w skali k: długości i obwody rosną k razy, pola k² razy, objętości k³ razy. Jak z pól odczytać skalę, jak przejść z objętości do pola powierzchni, o ile procent rośnie objętość i 8 zadań CKE krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 11 minOpublikowano: 16 września 2026

Przekątna kwadratu to a√2, przekątna prostokąta to √(a²+b²), a promień okręgu opisanego to połowa przekątnej. Wyprowadzamy wzory z Pitagorasa, porządkujemy okrąg wpisany i opisany na kwadracie i rozwiązujemy 8 zadań CKE krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 10 minOpublikowano: 14 września 2026

Stosunek pól trójkątów liczysz bez wysokości: przy wspólnej wysokości to stosunek podstaw, przy wspólnym kącie stosunek iloczynów boków, przy podobieństwie kwadrat skali. Pięć zadań z arkuszy rozszerzonych CKE rozwiązanych krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 10 minOpublikowano: 12 września 2026

Trapez równoramienny ma równe ramiona, równe kąty przy każdej podstawie i równe przekątne. Zobacz, jak z tych własności policzyć wysokość, kąty i pole, oraz przerób pięć zadań z arkuszy CKE krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 9 minOpublikowano: 10 września 2026

Nierówność trójkąta rozstrzyga, czy z trzech odcinków w ogóle powstanie trójkąt. Warunek, jego skrócona wersja, oszacowanie trzeciego boku i pięć zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 10 minOpublikowano: 8 września 2026

Kąty przy podstawie równe, wysokość dzieląca podstawę na pół i jedno twierdzenie Pitagorasa - z tego składa się każde zadanie o trójkącie równoramiennym. Wzory na wysokość, pole i kąty oraz siedem zadań z arkuszy CKE rozwiązanych krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 10 minOpublikowano: 28 sierpnia 2026

Definicja dwusiecznej, twierdzenie o dwusiecznej z dowodem przez pola, kąt między dwusiecznymi, długość dwusiecznej oraz siedem zadań CKE z matur 2012-2026 rozwiązanych krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 12 minOpublikowano: 26 sierpnia 2026

Wszystko o cięciwie okręgu na maturze: wzór na długość z promienia i odległości od środka, długość z kąta środkowego, kąt między styczną a cięciwą i twierdzenie o cięciwach z dowodem. Osiem zadań CKE z matur 2016-2023 rozwiązanych krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 11 minOpublikowano: 23 sierpnia 2026

Warunek a + c = b + d, wzór na pole P = p · r i dowód z odcinków stycznych: wszystko o czworokącie opisanym na okręgu z 5 zadaniami maturalnymi krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 8 minOpublikowano: 15 sierpnia 2026

Wielokąt foremny na maturze: suma kątów wewnętrznych, kąt wielokąta foremnego, liczba przekątnych i zadania CKE rozwiązane krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 7 minOpublikowano: 5 sierpnia 2026

Kiedy dwa okręgi są styczne zewnętrznie, kiedy wewnętrznie, a kiedy się przecinają? Wszystkie warunki w jednej tabeli i 5 zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 8 minOpublikowano: 30 lipca 2026

269 zadań CKE z planimetrii z rozwiązaniami krok po kroku. Wzory, twierdzenia i rozwiązane zadania maturalne z trójkątów, okręgów i czworokątów w jednym miejscu.

Marcel BogdanCzas czytania: 7 minOpublikowano: 19 czerwca 2026

Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg: kąty przeciwległe sumują się do 180. Warunek wpisywalności, twierdzenie Ptolemeusza i 5 zadań CKE.

Filip MaszotaCzas czytania: 10 minOpublikowano: 6 czerwca 2026

Wzór na pole trójkąta równobocznego, wysokość, promień okręgu wpisanego i opisanego z wyprowadzeniami. 6 zadań CKE rozwiązanych krok po kroku - maj 2026, maj 2022, czerwiec 2017, próbna luty 2026.

Filip MaszotaCzas czytania: 9 minOpublikowano: 5 czerwca 2026

Wysokość trójkąta równobocznego, równoramiennego i prostokątnego: wszystkie wzory w jednym miejscu, algorytm wyboru metody i 9 prawdziwych zadań maturalnych CKE rozwiązanych krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 11 minOpublikowano: 4 czerwca 2026

Sześciokąt foremny to figura, która regularnie wraca na maturze. Wzór na pole, promień okręgu wpisanego i opisanego, 6 rozwiązanych zadań z planimetrii i stereometrii krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 9 minOpublikowano: 29 maja 2026

Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym: \(\alpha = \frac{1}{2}\beta\), pełny dowód w trzech przypadkach, cztery praktyczne wnioski i pięć rozwiązanych zadań maturalnych.

Filip MaszotaCzas czytania: 13 minOpublikowano: 27 maja 2026

Wszystkie wzory na promień okręgu wpisanego r i opisanego R na trójkącie. Trójkąt równoboczny, prostokątny, dowolny. Pięć rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 12 minOpublikowano: 23 maja 2026

Wzór na pole wycinka koła i długość łuku okręgu w wersji stopniowej i radianowej. Siedem zadań maturalnych krok po kroku, pole odcinka koła i typowe pułapki.

Filip MaszotaCzas czytania: 14 minOpublikowano: 20 maja 2026

Wszystkie wzory na pole rombu i równoległoboku w jednym miejscu: bok razy wysokość, sinus kąta, przekątne. 5 zadań maturalnych krok po kroku i typowe pułapki.

Filip MaszotaCzas czytania: 13 minOpublikowano: 19 maja 2026

Wzory na pole koła i obwód okręgu z wyprowadzeniem. Pole wycinka, długość łuku, 6 rozwiązanych zadań maturalnych i typowe pułapki CKE.

Filip MaszotaCzas czytania: 3 minOpublikowano: 29 kwietnia 2026

Wszystkie sposoby liczenia długości boku trójkąta: Pitagoras, twierdzenie cosinusów, sinusów, podobieństwo, współrzędne. 7 rozwiązanych zadań z matury.

Filip MaszotaCzas czytania: 5 minOpublikowano: 27 kwietnia 2026

Pełny poradnik: wszystkie wzory na pole trapezu (zwykły, równoramienny, prostokątny, ze współrzędnych), pułapki maturalne i przykłady krok po kroku.

Filip MaszotaCzas czytania: 5 minOpublikowano: 24 kwietnia 2026