Dwusieczna kąta - twierdzenie o dwusiecznej, własności i zadania maturalne

Dwusieczna kąta - twierdzenie o dwusiecznej, własności i zadania maturalne

Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli go na dwa kąty o równych miarach. Każdy punkt dwusiecznej leży w tej samej odległości od obu ramion kąta. W trójkącie dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi boków przyległych do tego kąta: jeśli dwusieczna kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$, to $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$. To jest twierdzenie o dwusiecznej. Trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Na maturze podstawowej dwusieczna wraca regularnie. W naszej bazie zadań CKE z kategorii Planimetria dwusieczna występuje w 12 zadaniach, w tym w arkuszach: maj 2012 (zadanie 30, dowód), maj 2022 (zadanie 33, 2 punkty), sierpień 2023 (zadanie 26), maj 2024 (zadanie 24), próbna CKE marzec 2026 (zadanie 24, 3 punkty) i maj 2026 (zadanie 23, dowód za 2 punkty). Wszystkie rozwiązujemy niżej krok po kroku.

Co to jest dwusieczna kąta - definicja i własności

Dwusieczna kąta o mierze $\alpha$ to półprosta wychodząca z wierzchołka, która tworzy z każdym ramieniem kąt o mierze $\frac{\alpha}{2}$. Jej najważniejsza własność: punkt leży na dwusiecznej wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo odległy od obu ramion kąta. Dzięki temu dwusieczne w trójkącie prowadzą prosto do okręgu wpisanego.

Trzy fakty, które warto mieć w głowie:

• •Równe kąty. Jeśli $CD$ jest dwusieczną kąta $ACB$, to $|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DCB|=\frac{1}{2}|\sphericalangle ACB|$. W zadaniach zamkniętych to najczęściej jedyne, czego potrzebujesz.
• •Równe odległości od ramion. Każdy punkt dwusiecznej leży w tej samej odległości od obu ramion kąta. Dlatego punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest jednakowo odległy od wszystkich trzech boków: to środek okręgu wpisanego, a ta odległość to jego promień. Jak go policzyć, opisaliśmy we wpisie o promieniu okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie.
• •W trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta między ramionami pokrywa się z wysokością, środkową i symetralną podstawy. W dowolnym innym trójkącie to cztery różne odcinki. Różnicę między dwusieczną a symetralną opisaliśmy osobno przy okazji symetralnej odcinka.

Dwusieczna kąta a symetralna odcinka to dwa różne pojęcia, które uczniowie mylą najczęściej. Dwusieczna dzieli kąt na pół i przechodzi przez wierzchołek. Symetralna dzieli odcinek na pół i jest do niego prostopadła. Symetralne boków trójkąta dają środek okręgu opisanego, dwusieczne kątów dają środek okręgu wpisanego.

Twierdzenie o dwusiecznej - wzór i dowód

Twierdzenie o dwusiecznej mówi, że dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych. Dla trójkąta $ABC$ z dwusieczną kąta $ACB$ przecinającą bok $AB$ w punkcie $D$:

$\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$

Równoważnie: $|AD|\cdot|BC|=|DB|\cdot|AC|$. Jeśli oznaczysz $|AC|=b$, $|BC|=a$ i $|AB|=c$, to odcinki na boku $AB$ wyrażają się wzorami:

$|AD|=\frac{b}{a+b}\cdot c, \qquad |DB|=\frac{a}{a+b}\cdot c$

Dowód przez pola zajmuje trzy linijki i sam w sobie był tematem zadania 23 z matury maj 2026, więc warto go umieć.

Krok 1: wspólna wysokość Trójkąty $ACD$ i $BCD$ mają wspólny wierzchołek $C$, a ich podstawy $AD$ i $DB$ leżą na jednej prostej $AB$. Wysokość opuszczona z $C$ jest więc dla obu taka sama, nazwijmy ją $h$. Stąd:
$\frac{P_{ACD}}{P_{BCD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|AD|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot|DB|\cdot h}=\frac{|AD|}{|DB|}$ Krok 2: równe kąty przy $C$ Z definicji dwusiecznej $|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DCB|=\frac{\gamma}{2}$. Liczymy te same pola wzorem z sinusem (jeden z ośmiu wzorów z wpisu o polu trójkąta):
$\frac{P_{ACD}}{P_{BCD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|CD|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}}{\frac{1}{2}\cdot|BC|\cdot|CD|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{|AC|}{|BC|}$

Krok 3: porównaj Lewe strony obu równości są identyczne, więc $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$. Koniec dowodu.

Twierdzenie działa w obie strony: jeśli punkt $D$ boku $AB$ spełnia proporcję $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$, to $CD$ jest dwusieczną kąta $ACB$. Mechanika proporcji jest tu ta sama, co w twierdzeniu Talesa, tylko odcinki bierzesz z innego miejsca trójkąta.

Punkt przecięcia dwusiecznych i kąt między dwusiecznymi

Dwusieczne trzech kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, środku okręgu wpisanego. Kąt między dwusiecznymi dwóch kątów trójkąta jest zawsze rozwarty i wynosi $90^\circ$ plus połowa trzeciego kąta. To gotowy wzór na zadanie zamknięte i na krótki dowód.

Wyprowadzenie: niech dwusieczne kątów $A$ i $B$ trójkąta przecinają się w punkcie $P$. W trójkącie $ABP$ kąty przy $A$ i $B$ mają miary $\frac{\alpha}{2}$ i $\frac{\beta}{2}$, więc:
$|\sphericalangle APB|=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\gamma}{2}=90^\circ+\frac{\gamma}{2}$

Ponieważ $\gamma>0^\circ$, kąt $APB$ jest zawsze większy od $90^\circ$. Dokładnie to trzeba było uzasadnić w zadaniu 30 z matury maj 2012, które rozwiązujemy niżej.

Długość dwusiecznej - wzór, którego nie ma w tablicach

Długość dwusiecznej $d$ kąta $\gamma$ zawartego między bokami $a$ i $b$ wynosi $d=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}$. Wzoru nie ma w tablicach CKE, ale wyprowadzasz go w dwóch linijkach z równości pól, dokładnie jak w dowodzie twierdzenia o dwusiecznej.

Pole całego trójkąta to suma pól dwóch mniejszych:
$\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}bd\sin\frac{\gamma}{2}+\frac{1}{2}ad\sin\frac{\gamma}{2}$ Po skróceniu przez $\frac{1}{2}$ i wyłączeniu $d$:
$ab\sin\gamma=d(a+b)\sin\frac{\gamma}{2} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{ab\sin\gamma}{(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}}$

Ze wzoru na sinus podwojonego kąta $\sin\gamma=2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$ dostajesz postać końcową $d=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}$. Dwa przypadki szczególne warto znać na pamięć:

• •kąt $\gamma=60^\circ$: $d=\frac{2ab\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{a+b}=\frac{\sqrt{3}\,ab}{a+b}$,
• •kąt prosty $\gamma=90^\circ$: $d=\frac{2ab\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{a+b}=\frac{\sqrt{2}\,ab}{a+b}$.

Wartości sinusa i cosinusa połówek typowych kątów odczytasz z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych.

Zadanie 26 (matura sierpień 2023) - stosunek odcinków ↗

W trójkącie $ABC$ długość boku $AC$ jest równa $3$, a długość boku $BC$ jest równa $4$. Dwusieczna kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$. Stosunek $|AD|:|DB|$ jest równy: A. $4:3$, B. $4:7$, C. $3:4$, D. $3:7$.

Krok 1: rozpoznaj twierdzenie Dwusieczna wychodzi z $C$, więc dzieli bok $AB$ w stosunku boków przyległych do kąta $C$, czyli $AC$ i $BC$.

Krok 2: zapisz proporcję $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{3}{4}$.

Krok 3: odpowiedź $|AD|:|DB|=3:4$, odpowiedź C.

Pułapka w tym zadaniu to odpowiedź D ($3:7$): to stosunek $|AD|$ do całego boku $AB$, a nie do $|DB|$. Czytaj, o jaki stosunek pyta polecenie.

Zadanie 24 (matura maj 2024) - równość z twierdzenia ↗

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$, $|LM|=b$ oraz $a\neq b$. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN|=c$, $|NL|=d$ oraz $|MN|=e$. Która równość jest prawdziwa: A. $a\cdot b=c\cdot d$, B. $a\cdot d=b\cdot c$, C. $a\cdot c=b\cdot d$, D. $a\cdot b=e\cdot e$?

Krok 1: dopasuj oznaczenia Dwusieczna wychodzi z wierzchołka $M$. Boki przyległe do kąta $M$ to $KM=a$ i $LM=b$. Odcinki na boku $KL$ to $KN=c$ (przy wierzchołku $K$) i $NL=d$ (przy wierzchołku $L$).

Krok 2: zapisz twierdzenie Odcinek przy $K$ do odcinka przy $L$ jak bok przy $K$ do boku przy $L$:
$\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$

Krok 3: pomnóż na krzyż $c\cdot b=a\cdot d$, czyli $a\cdot d=b\cdot c$. Odpowiedź B.

Odpowiedź C ($ac=bd$) to klasyczna pomyłka: proporcja ustawiona "na odwrót". Zapamiętaj zasadę: odcinek przy danym wierzchołku odpowiada bokowi przy tym samym wierzchołku.

Zadanie 23 (matura maj 2026) - stosunek pól trójkątów ↗

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$ oraz $|LM|=b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$. Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\frac{a}{b}$.

Krok 1: wspólna wysokość Trójkąty $KNM$ i $NLM$ mają wspólny wierzchołek $M$, a podstawy $KN$ i $NL$ leżą na jednej prostej $KL$. Wysokość $h$ opuszczona z $M$ na prostą $KL$ jest więc w obu trójkątach taka sama.

Krok 2: stosunek pól przez podstawy
$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|KN|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot|NL|\cdot h}=\frac{|KN|}{|NL|}$

Krok 3: twierdzenie o dwusiecznej $MN$ jest dwusieczną kąta $LMK$, więc $\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|}=\frac{a}{b}$.

Krok 4: wniosek $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}$, co należało wykazać.

Alternatywna droga, gdybyś nie pamiętał twierdzenia: policz oba pola wzorem z sinusem. $P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot|MN|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}$ oraz $P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot|MN|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}$, gdzie $\gamma$ to kąt $LMK$. Po skróceniu zostaje $\frac{a}{b}$. To jest dokładnie krok 2 dowodu twierdzenia z początku artykułu. Więcej takich zadań znajdziesz w zestawie zadań dowodowych z matury CKE, a cały arkusz na stronie matury maj 2026.

Zadanie 17 (matura czerwiec 2017) - miara kąta z tangensa ↗

Odcinek $BD$ jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego $ABC$ trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne $AC$ i $BC$ mają długości odpowiednio $5$ i $3$. Miara $\varphi$ kąta $DBC$ spełnia warunek: A. $20^\circ<\varphi<25^\circ$, B. $25^\circ<\varphi<30^\circ$, C. $30^\circ<\varphi<35^\circ$, D. $35^\circ<\varphi<40^\circ$.

Krok 1: znajdź cały kąt $ABC$ Kąt prosty jest przy $C$. Przyprostokątna $AC=5$ leży naprzeciw kąta $B$, a $BC=3$ przy nim, więc $\operatorname{tg}(\sphericalangle ABC)=\frac{5}{3}\approx 1{,}667$.

Krok 2: oszacuj kąt z tablic W tablicach $\operatorname{tg}59^\circ\approx 1{,}664$ oraz $\operatorname{tg}60^\circ\approx 1{,}732$. Zatem $59^\circ<|\sphericalangle ABC|<60^\circ$.

Krok 3: podziel na pół $\varphi=\frac{1}{2}|\sphericalangle ABC|$, więc $29{,}5^\circ<\varphi<30^\circ$. Odpowiedź B.

W tym zadaniu nie liczysz dokładnej wartości kąta, wystarczy przedział. Jeśli kąt wyszedł ci w okolicach $59^\circ$, a odpowiedzi dotyczą połowy, nie zapomnij podzielić przez $2$: odpowiedź D ($35^\circ<\varphi<40^\circ$) łapie tych, którzy zapomnieli o dwusiecznej.

Zadanie 33 (matura maj 2022) - podobieństwo trójkątów i kąt 72 stopnie ↗

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Dwusieczna kąta $BAC$ przecina bok $BC$ w takim punkcie $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne. Oblicz miarę kąta $BAC$.

Krok 1: oznacz kąty Niech $|\sphericalangle BAC|=\alpha$. Trójkąt jest równoramienny z ramionami $AC$ i $BC$, więc kąty przy podstawie $AB$ są równe: $|\sphericalangle ABC|=\alpha$, a kąt przy wierzchołku $C$ to $180^\circ-2\alpha$.

Krok 2: kąty trójkąta $BDA$ Kąt przy $B$ to $\alpha$ (wspólny z dużym trójkątem). Kąt $DAB$ to połowa kąta $BAC$, czyli $\frac{\alpha}{2}$. Trzeci kąt: $|\sphericalangle ADB|=180^\circ-\alpha-\frac{\alpha}{2}=180^\circ-\frac{3\alpha}{2}$.

Krok 3: warunek podobieństwa Trójkąt $ABC$ ma kąty $\alpha,\alpha,180^\circ-2\alpha$, więc trójkąt podobny też musi mieć dwa równe kąty. W trójkącie $BDA$ kąty $\alpha$ i $\frac{\alpha}{2}$ nie mogą być równe, więc równy $\alpha$ musi być kąt $ADB$:
$180^\circ-\frac{3\alpha}{2}=\alpha \quad\Rightarrow\quad 180^\circ=\frac{5\alpha}{2} \quad\Rightarrow\quad \alpha=72^\circ$

Krok 4: sprawdzenie Trójkąt $ABC$: $72^\circ,72^\circ,36^\circ$. Trójkąt $BDA$: $72^\circ,36^\circ,72^\circ$. Te same trzy kąty, trójkąty są podobne. Odpowiedź: $|\sphericalangle BAC|=72^\circ$.

To zadanie łączy dwusieczną z cechami podobieństwa trójkątów. Kluczowa obserwacja: podobieństwo z cechy kąt-kąt-kąt wymaga, żeby zestawy kątów były identyczne, a w trójkącie równoramiennym dwa z nich muszą się powtarzać.

Zadanie 81 (zbiór zadań CKE) - długość dwusiecznej przy kącie 60 stopni ↗

W trójkącie $ABC$ o bokach $|AC|=b$, $|BC|=a$ i kącie między nimi $60^\circ$ poprowadzono dwusieczną kąta $ACB$, która przecięła bok $AB$ w punkcie $D$. Zapisz długość odcinka $CD$ w zależności od $a$ i $b$.

Krok 1: pole całego trójkąta $P_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}ab$.

Krok 2: pola dwóch mniejszych trójkątów Dwusieczna dzieli kąt $60^\circ$ na dwa kąty po $30^\circ$. Oznacz $|CD|=d$:
$P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot d\cdot\sin 30^\circ=\frac{bd}{4}, \qquad P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot d\cdot\sin 30^\circ=\frac{ad}{4}$ Krok 3: równanie pól $P_{ABC}=P_{ACD}+P_{BCD}$:
$\frac{\sqrt{3}}{4}ab=\frac{bd}{4}+\frac{ad}{4}=\frac{d(a+b)}{4}$

Krok 4: wyznacz $d$ $\sqrt{3}\,ab=d(a+b)$, więc $|CD|=\frac{\sqrt{3}\,ab}{a+b}$.

To zadanie za 5 punktów w zbiorze CKE, a cały trik to rozbicie pola na dwie części. Wzór z sinusem na pole trójkąta jest w tablicach, więc nie musisz niczego pamiętać poza pomysłem.

Przykład: trapez z próbnej matury CKE marzec 2026 (zadanie 24)

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB|=2\cdot|CD|$. Przekątna $AC$ jest zawarta w dwusiecznej kąta $DAB$. Wykaż, że miara kąta $DAB$ jest równa $60^\circ$.

Krok 1: kąty naprzemianległe Podstawy są równoległe, więc $|\sphericalangle DCA|=|\sphericalangle CAB|$ (kąty naprzemianległe przy prostych równoległych $CD$ i $AB$ przeciętych prostą $AC$).

Krok 2: dwusieczna $AC$ jest dwusieczną kąta $DAB$, więc $|\sphericalangle DAC|=|\sphericalangle CAB|$. Łącząc z krokiem 1: $|\sphericalangle DAC|=|\sphericalangle DCA|$, czyli trójkąt $ACD$ jest równoramienny i $|AD|=|CD|$.

Krok 3: oznacz długości Niech $|CD|=x$. Wtedy $|AD|=x$, z równoramienności trapezu $|BC|=x$, a z treści $|AB|=2x$.

Krok 4: wysokość trapezu Opuść wysokości z $D$ i $C$ na podstawę $AB$. W trapezie równoramiennym odcinają one przy wierzchołkach $A$ i $B$ równe odcinki o długości $\frac{|AB|-|CD|}{2}=\frac{2x-x}{2}=\frac{x}{2}$.

Krok 5: cosinus kąta W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku $A$ przeciwprostokątna to ramię $AD=x$, a przyprostokątna przyległa do kąta $DAB$ to $\frac{x}{2}$:
$\cos(\sphericalangle DAB)=\frac{\frac{x}{2}}{x}=\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad |\sphericalangle DAB|=60^\circ$

Co należało wykazać. Pełną treść zadania i schemat punktowania znajdziesz w zadaniu 24 z próbnej matury marzec 2026. Zwróć uwagę na mechanizm: dwusieczna plus kąty naprzemianległe prawie zawsze dają trójkąt równoramienny. To powtarzalny schemat w zadaniach z trapezem i równoległobokiem.

Zadanie 30 (matura maj 2012) - kąt między dwusiecznymi jest rozwarty ↗

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów $A$ i $B$. Dwusieczne te przecinają się w punkcie $P$. Uzasadnij, że kąt $APB$ jest rozwarty.

Krok 1: oznacz kąty trójkąta $|\sphericalangle A|=\alpha$, $|\sphericalangle B|=\beta$, $|\sphericalangle C|=\gamma$, przy czym $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

Krok 2: kąty w trójkącie $ABP$ Z definicji dwusiecznej $|\sphericalangle PAB|=\frac{\alpha}{2}$ oraz $|\sphericalangle PBA|=\frac{\beta}{2}$.

Krok 3: trzeci kąt $|\sphericalangle APB|=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\gamma}{2}=90^\circ+\frac{\gamma}{2}$.

Krok 4: wniosek Ponieważ $\gamma>0^\circ$, to $|\sphericalangle APB|>90^\circ$, czyli kąt jest rozwarty. Co należało uzasadnić.

Ten sam rachunek daje gotową odpowiedź w zadaniach zamkniętych typu "dwusieczne kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego o kącie $70^\circ$ przecinają się pod kątem...": wystarczy $90^\circ+\frac{\gamma}{2}$. Więcej o rachunkach na kątach w trójkącie przeczytasz we wpisie o kątach w figurach na maturze.

Typowe pułapki przy dwusiecznej

• •Proporcja "na odwrót". Odcinek przy wierzchołku $A$ odpowiada bokowi przy wierzchołku $A$. W zadaniu z maja 2024 pomylenie stron daje błędną odpowiedź C zamiast B.
• •Stosunek do całego boku zamiast do drugiego odcinka. $|AD|:|DB|=3:4$ to nie to samo co $|AD|:|AB|=3:7$. Zadanie z sierpnia 2023 ma obie liczby wśród odpowiedzi.
• •Dwusieczna to nie środkowa. Dwusieczna dzieli bok na pół tylko wtedy, gdy boki przyległe są równe. W trójkącie o bokach $3$ i $4$ punkt $D$ nie jest środkiem $AB$. O środkowych i ich punkcie przecięcia piszemy we wpisie o środku ciężkości trójkąta.
• •Dwusieczna to nie wysokość. Dwusieczna jest prostopadła do przeciwległego boku tylko w trójkącie równoramiennym (dla kąta między ramionami). Wysokości liczysz inaczej, zobacz jak obliczyć wysokość trójkąta.
• •Zapomniane dzielenie przez 2. W zadaniach z tangensem albo z kątem między dwusiecznymi połowa kąta gubi się najczęściej. Po obliczeniu całego kąta wróć do pytania i sprawdź, czy chodzi o kąt, czy o jego połowę.
• •Brak uzasadnienia w dowodzie. W zadaniu "wykaż" musisz napisać, skąd biorą się równe kąty (definicja dwusiecznej) i wspólna wysokość (podstawy na jednej prostej). Sam wynik bez tych dwóch zdań to zero punktów.

Najczęstsze pytania

Co to jest dwusieczna kąta?
Dwusieczna kąta to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta, która dzieli go na dwa kąty o równych miarach. Każdy punkt dwusiecznej jest jednakowo odległy od obu ramion kąta, a w trójkącie trzy dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego.

Co mówi twierdzenie o dwusiecznej?
Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych do tego kąta. Jeśli dwusieczna kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$, to $|AD|:|DB|=|AC|:|BC|$. Twierdzenie obowiązuje na maturze podstawowej, co potwierdzają zadania z maja 2024 i maja 2026.

Jak obliczyć długość dwusiecznej w trójkącie?
Ze wzoru $d=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}$, gdzie $a$ i $b$ to boki zawierające kąt $\gamma$. Wzoru nie ma w tablicach, więc na maturze wyprowadzasz go z równości pól: pole całego trójkąta to suma pól dwóch trójkątów, na które dzieli go dwusieczna, każde liczone wzorem z sinusem.

Czym różni się dwusieczna od symetralnej?
Dwusieczna dzieli kąt na dwie równe części i przechodzi przez jego wierzchołek. Symetralna dzieli odcinek na dwie równe części i jest do niego prostopadła. Dwusieczne kątów trójkąta wyznaczają środek okręgu wpisanego, a symetralne boków środek okręgu opisanego.

Gdzie przecinają się dwusieczne trójkąta?
W jednym punkcie leżącym zawsze wewnątrz trójkąta, który jest środkiem okręgu wpisanego. Odległość tego punktu od każdego boku jest taka sama i równa promieniowi okręgu wpisanego $r$, który możesz policzyć ze wzoru $P=\frac{1}{2}(a+b+c)\cdot r$.

Pod jakim kątem przecinają się dwusieczne dwóch kątów trójkąta?
Pod kątem $90^\circ+\frac{\gamma}{2}$, gdzie $\gamma$ to trzeci kąt trójkąta. Dlatego ten kąt jest zawsze rozwarty. Dla trójkąta równobocznego wychodzi $90^\circ+30^\circ=120^\circ$.

Czy dwusieczna dzieli bok trójkąta na pół?
Tylko wtedy, gdy dwa boki przyległe do dzielonego kąta są równe, czyli w trójkącie równoramiennym dla kąta między ramionami. W każdym innym przypadku odcinki są różne i ich stosunek wynika z twierdzenia o dwusiecznej.

Checklista: co musisz umieć

• •Podać definicję dwusiecznej i własność równych odległości od ramion.
• •Zapisać twierdzenie o dwusiecznej z poprawnie dopasowanymi odcinkami i bokami.
• •Udowodnić twierdzenie przez pola (wspólna wysokość plus wzór z sinusem).
• •Obliczyć kąt między dwusiecznymi: $90^\circ+\frac{\gamma}{2}$.
• •Wyprowadzić długość dwusiecznej z równości pól, w szczególności dla kąta $60^\circ$ i $90^\circ$.
• •Rozpoznać schemat "dwusieczna plus kąty naprzemianległe daje trójkąt równoramienny" w trapezie i równoległoboku.
• •Odróżnić dwusieczną od symetralnej, środkowej i wysokości.

Zadania z dwusieczną na żywo przećwiczysz w arkuszach matury maj 2024 i matury sierpień 2023, a pełny przegląd działu znajdziesz w zestawie zadań CKE z planimetrii z rozwiązaniami.