W trójkącie ABC o bokach długości |AC|=b, |BC|=a i kącie między nimi 60° poprowadzono dwusieczną kąta ACB, która przecięła bok AB w punkcie D. Zapisz długość odcinka CD w zależności od a i b.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: √(3)ab/(a+b)
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-81.png]
Oznaczmy długość dwusiecznej |CD| = d.
Krok 2: Wzór na długość dwusiecznej
Dla dwusiecznej kąta γ w trójkącie o bokach a, b (tworzących ten kąt) oraz długości dwusiecznej d, obowiązuje wzór:
d = 2ab cos(γ/2)/(a+b)
W naszym przypadku: γ= ∠ACB = 60°, więc γ/2 = 30°.
Krok 3: Podstawienie danych
Podstawiamy do wzoru:
d = 2ab cos(30°)/(a+b)
Krok 4: Obliczenie cos(30°)
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych:
cos(30°) = √(3)/2
Krok 5: Obliczenie długości dwusiecznej
d = 2ab · √(3)/2/(a+b)
d = ab√(3)/(a+b)
Odpowiedź:
|CD| = √(3)ab/(a+b)
---
Uwaga: Wzór na długość dwusiecznej można wyprowadzić z twierdzenia cosinusów. Po podziale trójkąta ABC dwusieczną na dwa mniejsze trójkąty, wykorzystując twierdzenie o dwusiecznej (podział boku AB w stosunku b:a) oraz twierdzenie cosinusów w jednym z otrzymanych trójkątów, otrzymuje się powyższy wzór.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.