Czworokąt opisany na okręgu - warunek a+c=b+d i zadania maturalne

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: $a + c = b + d$. Taki czworokąt nazywamy czworokątem opisanym na okręgu, a jego pole liczysz ze wzoru $P = p \cdot r$, gdzie $p$ to połowa obwodu, a $r$ to promień okręgu wpisanego. Ten warunek, znany jako twierdzenie Pitota, to jedno z najczęściej wykorzystywanych twierdzeń planimetrii w zadaniach maturalnych.

Uwaga na start, bo tu pada najwięcej błędów: czworokąt opisany na okręgu (okrąg w środku figury, styczny do boków) to zupełnie inna sytuacja niż czworokąt wpisany w okrąg, w którym okrąg przechodzi przez wierzchołki. Inny rysunek, inne twierdzenie, inne wzory. W tym poście bierzemy na warsztat wersję z okręgiem wpisanym: warunek na boki, wzór na pole, dowód z odcinków stycznych i 5 zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

Czworokąt opisany na okręgu - definicja i warunek

Czworokąt opisany na okręgu to czworokąt, którego wszystkie cztery boki są styczne do jednego okręgu, zwanego okręgiem wpisanym. W czworokąt wypukły da się wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe:

$a + c = b + d$

gdzie $a, b, c, d$ to kolejne boki czworokąta (a naprzeciwko c, b naprzeciwko d).

Dwie rzeczy warto podkreślić od razu:

• •Warunek działa w obie strony: jeśli okrąg da się wpisać, to $a + c = b + d$, a jeśli w czworokącie wypukłym zachodzi $a + c = b + d$, to okrąg da się wpisać.
• •Założenie wypukłości jest istotne. Dla czworokątów wklęsłych sama równość sum boków nie wystarcza, więc w uzasadnieniach pisz o czworokącie wypukłym.

Skąd bierze się warunek a + c = b + d

Cały dowód opiera się na jednej własności: odcinki stycznych poprowadzonych do okręgu z tego samego punktu mają równe długości. Każdy wierzchołek czworokąta opisanego leży poza okręgiem i wychodzą z niego dwa odcinki styczne o wspólnej długości.

Oznacz długości odcinków stycznych wychodzących z kolejnych wierzchołków przez $x$, $y$, $z$, $t$. Każdy bok czworokąta skleja się z dwóch takich odcinków:

$a = x + y, \quad b = y + z, \quad c = z + t, \quad d = t + x$

Teraz policz sumy przeciwległych boków:

$a + c = x + y + z + t \quad \text{oraz} \quad b + d = y + z + t + x$

Obie sumy są równe $x + y + z + t$, więc $a + c = b + d$. Koniec dowodu. Na maturze takie uzasadnienie potrafi być osobnym zadaniem - jak zabierać się za tego typu zadania, przeczytasz w poście o dowodach matematycznych na maturze.

Wzór na pole czworokąta opisanego na okręgu

Pole czworokąta opisanego na okręgu to iloczyn połowy obwodu i promienia okręgu wpisanego:

$P = p \cdot r, \quad \text{gdzie } p = \frac{a+b+c+d}{2}$

Skąd się bierze ten wzór? Połącz środek okręgu wpisanego z wierzchołkami czworokąta - figura rozpadnie się na 4 trójkąty. Każdy z nich ma podstawę na jednym boku czworokąta, a wysokość równą $r$, bo promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku. Sumując pola trójkątów:

$P = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}dr = \frac{a+b+c+d}{2} \cdot r = p \cdot r$

W tablicach CKE nie znajdziesz gotowego wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, dlatego dopisz go do swojej listy wzorów spoza tablic, które musisz znać.

Które czworokąty zawsze mają okrąg wpisany

W romb i kwadrat okrąg można wpisać zawsze, bo wszystkie boki mają tę samą długość i warunek $a + c = b + d$ spełnia się automatycznie. Pozostałe czworokąty trzeba sprawdzać warunkiem Pitota.

• •Romb i kwadrat: zawsze. Promień okręgu wpisanego w romb to połowa wysokości rombu: $r = \frac{h}{2}$. Zobacz też jak liczyć pole rombu i równoległoboku.
• •Deltoid wypukły: zawsze, bo kolejne boki $a, a, b, b$ dają po obu stronach tę samą sumę $a + b$.
• •Prostokąt: tylko wtedy, gdy jest kwadratem (pokażemy to w przykładzie 5).
• •Równoległobok: tylko wtedy, gdy jest rombem, bo warunek $2a = 2b$ wymusza równość boków.
• •Trapez: tylko wtedy, gdy suma podstaw równa się sumie ramion. W trapezie równoramiennym o ramieniu $c$ daje to wygodną postać $a + b = 2c$.

Zadania maturalne krok po kroku

Typowe pułapki

• •Mylenie wpisanego z opisanym. Czworokąt wpisany w okrąg: wierzchołki na okręgu, warunek na kąty $\alpha + \gamma = 180^\circ$. Czworokąt opisany na okręgu: boki styczne do okręgu, warunek na boki $a + c = b + d$. Zanim zaczniesz liczyć, ustal, która sytuacja występuje w zadaniu.
• •Sumowanie sąsiednich boków zamiast przeciwległych. W warunku $a + c = b + d$ chodzi o boki leżące naprzeciwko siebie. Przy oznaczeniach z rysunku zawsze sprawdź, które boki są przeciwległe.
• •Cały obwód zamiast połowy. We wzorze $P = p \cdot r$ litera $p$ oznacza połowę obwodu. Podstawienie całego obwodu podwaja wynik.
• •Równość h = 2r stosowana bez uzasadnienia. Wysokość równa średnicy działa, bo okrąg jest styczny do dwóch równoległych boków (podstaw trapezu, przeciwległych boków rombu). W czworokącie bez pary boków równoległych taka równość nie ma sensu.
• •Pominięcie wypukłości. Twierdzenie odwrotne (z równości sum boków wynika istnienie okręgu wpisanego) wymaga czworokąta wypukłego. W zadaniach maturalnych figury są wypukłe, ale w uzasadnieniu warto to napisać.

Checklista: co musisz umieć

Chcesz poćwiczyć na prawdziwych zadaniach CKE? Wejdź w zadania z planimetrii z pełnymi rozwiązaniami albo przejrzyj całą bazę zadań z planimetrii. Przyda ci się też ściąga z pól i obwodów wszystkich figur oraz post o promieniu okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie - to bliźniaczy temat, który w arkuszach pojawia się jeszcze częściej.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie