Końce odcinka AB o długości 9 są środkami okręgów o promieniach 6 i 4 (zobacz rysunek). Punkt C leży na odcinku AB i jest środkiem takiego okręgu, o promieniu większym od 6, że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne. Promień okręgu o środku C ma długość
Odpowiedzi do wyboru
- A.6,5
- B.7,5
- C.8,5
- D.9,5
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Oznaczmy: - punkt A jako środek okręgu o promieniu r_A = 6 - punkt B jako środek okręgu o promieniu r_B = 4 - punkt C jako środek szukanego okręgu o promieniu r_C - odległość |AB| = 9
Warunek styczności wewnętrznej
Gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie, to mniejszy okrąg znajduje się wewnątrz większego i stykają się w jednym punkcie. Warunek na odległość środków:
d = |r_(większy) - r_(mniejszy)|
Przypadek okręgu o środku A
Okrąg o środku C ma promień r_C > 6, więc jest większy od okręgu o środku A. Warunek styczności wewnętrznej:
|AC| = r_C - r_A = r_C - 6
Przypadek okręgu o środku B
Okrąg o środku C jest również większy od okręgu o środku B (bo r_C > 6 > 4). Warunek styczności wewnętrznej:
|BC| = r_C - r_B = r_C - 4
Układ równań
Ponieważ punkt C leży na odcinku AB, to:
|AC| + |BC| = |AB| = 9
Podstawiamy warunki styczności:
(r_C - 6) + (r_C - 4) = 9
Rozwiązanie
r_C - 6 + r_C - 4 = 9
2r_C - 10 = 9
2r_C = 19
r_C = 9,5
Weryfikacja: - |AC| = 9,5 - 6 = 3,5 - |BC| = 9,5 - 4 = 5,5 - |AC| + |BC| = 3,5 + 5,5 = 9 ✓ - r_C = 9,5 > 6 ✓
Odpowiedź: D
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.