Trójkąt ostrokątny ABC jest wpisany w okrąg o środku O i promieniu 4. Kąt CAB jest równy kątowi OCB oraz kąt CBA jest równy kątowi OCA. Oblicz długość wysokości CD opuszczonej z wierzchołka C na bok AB.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |CD|=4
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-67.png]
Oznaczmy ∠CAB = α i ∠CBA = β.
## Krok 2: Analiza warunków zadania
Z warunków zadania: - ∠CAB = ∠OCB = α - ∠CBA = ∠OCA = β
## Krok 3: Wykorzystanie własności trójkąta równoramiennego
Ponieważ O jest środkiem okręgu, to |OC| = |OB| = 4.
W trójkącie OCB: - |OC| = |OB| = 4 (promienie) - Zatem trójkąt OCB jest równoramienny
Z własności trójkąta równoramiennego: ∠OCB = ∠OBC
Wiemy, że ∠OCB = α, więc ∠OBC = α.
## Krok 4: Suma kątów w trójkącie OCB
W trójkącie OCB: ∠COB + ∠OCB + ∠OBC = 180° ∠COB + α+ α= 180° ∠COB = 180° - 2α
## Krok 5: Analogiczne rozumowanie dla trójkąta OCA
Podobnie, |OC| = |OA| = 4, więc trójkąt OCA jest równoramienny.
Z warunku ∠OCA = β wynika, że ∠OAC = β.
W trójkącie OCA: ∠COA = 180° - 2β
## Krok 6: Obliczenie kąta ∠AOB
Kąty środkowe przy wierzchołku O sumują się: ∠AOB = 360° - ∠COB - ∠COA = 360° - (180° - 2α) - (180° - 2β) ∠AOB = 360° - 180° + 2α- 180° + 2β= 2α+ 2β
## Krok 7: Związek między kątem środkowym a wpisanym
Kąt wpisany ∠ACB oparty na łuku AB spełnia: ∠ACB = 1/2∠AOB = 1/2(2α+ 2β) = α+ β
## Krok 8: Suma kątów w trójkącie ABC
W trójkącie ABC: ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180° α+ β+ (α+ β) = 180° 2α+ 2β= 180° α+ β= 90°
## Krok 9: Wniosek o trójkącie
Skoro ∠ACB = α+ β= 90°, to trójkąt ABC jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku C.
## Krok 10: Obliczenie długości AB
Dla trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg, przeciwprostokątna jest średnicą okręgu: |AB| = 2R = 2 · 4 = 8
## Krok 11: Obliczenie wysokości CD
Wysokość CD opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym wpisanym w okrąg o promieniu R jest równa promieniowi okręgu.
Alternatywnie, punkt C leży na okręgu o średnicy AB, a wysokość z C na AB jest odległością punktu C od średnicy, która dla punktu na okręgu wynosi maksymalnie R = 4.
Ponieważ ∠ACB = 90°, punkt C leży na półokręgu, a jego odległość od średnicy AB wynosi dokładnie promień:
|CD| = 4
Odpowiedź: |CD| = 4
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.