Punkty A, B, C, D są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Odcinek DB jest średnicą tego okręgu i |∢BAC|=α, |∢CBD|=β. Wykaż, że α+β=90° .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że α+ β= 90°
Korzysta się z własności kątów wpisanych w okrąg oraz z twierdzenia o kącie wpisanym opartym na średnicy.
Krok 1: Kąt wpisany oparty na średnicy
Ponieważ DB jest średnicą okręgu, to kąt ∢DCB jest kątem wpisanym opartym na średnicy. Z twierdzenia Talesa:
∢DCB = 90°
Krok 2: Analiza kąta β
Z oznaczenia wiemy, że β= |∢CBD|.
W trójkącie BCD suma kątów wynosi 180°:
∢CBD + ∢BCD + ∢CDB = 180°
Podstawiając ∢BCD = 90°:
β+ 90° + ∢CDB = 180°
∢CDB = 90° - β
Krok 3: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku
Kąty ∢BAC i ∢BDC są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku BC (punkty A, B, C, D leżą w tej kolejności na okręgu, więc oba kąty "widzą" łuk BC z tej samej strony cięciwy).
Z twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku:
∢BAC = ∢BDC
Zatem:
α= ∢CDB
Krok 4: Wykazanie tezy
Z kroku 2 wiemy, że:
∢CDB = 90° - β
Z kroku 3 wiemy, że:
α= ∢CDB
Łącząc te równości:
α= 90° - β
α+ β= 90°
co należało wykazać.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.