Wielokąt foremny - kąty, przekątne, wzory i zadania maturalne

Wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równe. Trzy wzory załatwiają większość zadań maturalnych: suma kątów wewnętrznych n-kąta to $(n-2) \cdot 180^{\circ}$, kąt wewnętrzny n-kąta foremnego to $\frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}$, a liczba przekątnych to $\frac{n(n-3)}{2}$.

CKE sięga po wielokąty foremne regularnie i niemal zawsze w zadaniach zamkniętych za 1 punkt: na maturze w maju 2010 (zadanie 13) trzeba było policzyć przekątne siedmiokąta foremnego, a na maturze w czerwcu 2025 (zadanie 20) kąt wpisany oparty na wierzchołkach dziesięciokąta foremnego. Oba zadania rozwiązujemy niżej krok po kroku, razem z kompletem wzorów, których potrzebujesz.

Co to jest wielokąt foremny

Wielokąt foremny to wielokąt wypukły, którego wszystkie boki mają równe długości i wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. Najprostsze przykłady to trójkąt równoboczny (trzy boki) i kwadrat (cztery boki), dalej pięciokąt foremny, sześciokąt foremny i tak dalej. Dla każdej liczby $n \geq 3$ istnieje dokładnie jeden kształt n-kąta foremnego.

Dwie własności, które CKE lubi wykorzystywać:

• •Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy można wpisać okrąg. Oba okręgi mają wspólny środek, nazywany środkiem wielokąta.
• •Wierzchołki wielokąta foremnego dzielą okrąg opisany na $n$ równych łuków, każdy o mierze $\frac{360^{\circ}}{n}$. Ta obserwacja jest kluczem do zadań łączących wielokąty z kątami wpisanymi i środkowymi w okręgu.

Suma kątów wewnętrznych wielokąta - wzór

Suma kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego o $n$ bokach wynosi $(n-2) \cdot 180^{\circ}$. Wzór działa dla każdego wielokąta wypukłego, nie tylko foremnego: dla trójkąta daje $180^{\circ}$, dla czworokąta $360^{\circ}$, dla pięciokąta $540^{\circ}$.

Skąd się bierze ten wzór? Wybierz jeden wierzchołek wielokąta i poprowadź z niego wszystkie przekątne. Podzielą one wielokąt na $n-2$ trójkątów, a suma kątów każdego trójkąta to $180^{\circ}$. Kąty tych trójkątów składają się dokładnie na kąty wielokąta, więc ich suma wynosi $(n-2) \cdot 180^{\circ}$. Nie musisz tego wzoru wkuwać na ślepo, wystarczy pamiętać obrazek z podziałem na trójkąty.

Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego - wzór i tabela

W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc jeden kąt wewnętrzny to suma kątów podzielona przez ich liczbę:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}$

Warto też znać kąt środkowy: odcinki łączące środek wielokąta z wierzchołkami dzielą kąt pełny na $n$ równych części, każda po $\frac{360^{\circ}}{n}$. Zachodzi przy tym wygodna zależność: $\alpha = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}$, czyli kąt wewnętrzny i kąt środkowy zawsze sumują się do $180^{\circ}$.

Liczba przekątnych wielokąta - wzór

Liczba przekątnych wielokąta o $n$ bokach wynosi $\frac{n(n-3)}{2}$. Czworokąt ma 2 przekątne, pięciokąt 5, sześciokąt 9, siedmiokąt 14, a dziesięciokąt już 35.

Skąd ten wzór? Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych: nie łączysz wierzchołka z nim samym ani z dwoma sąsiadami, bo odcinki do sąsiadów to boki. Iloczyn $n(n-3)$ liczy jednak każdą przekątną dwa razy, raz z każdego końca, dlatego na końcu dzielisz przez 2.

Sześciokąt foremny - ulubiona figura CKE

Sześciokąt foremny warto znać osobno, bo ma wyjątkową własność: promień okręgu opisanego jest równy bokowi, $R = a$. Przekątne przechodzące przez środek dzielą go bowiem na 6 trójkątów równobocznych o boku $a$.

Z tego natychmiast wynikają pozostałe wzory: promień okręgu wpisanego to wysokość trójkąta równobocznego, czyli $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, a pole to sześć pól trójkąta równobocznego: $P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Pełne wyprowadzenie i więcej zadań z polami znajdziesz w poście o polu sześciokąta foremnego.

Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku

Zadanie 1: liczba przekątnych (Matura maj 2010, zadanie 13)

Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa: A) 7, B) 14, C) 21, D) 28.

Krok 1: zapisz wzór. Liczba przekątnych n-kąta to $\frac{n(n-3)}{2}$.

Krok 2: podstaw n = 7. $\frac{7 \cdot (7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$.

Krok 3: wybierz odpowiedź. Prawidłowa jest B. Zwróć uwagę, że 28 (odpowiedź D) to wynik bez podzielenia przez 2, czyli klasyczny dystraktor. Możesz przećwiczyć to zadanie w naszej bazie.

Zadanie 2: ile boków ma wielokąt o danym kącie

Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę $144^{\circ}$. Ile boków ma ten wielokąt?

Krok 1: zapisz równanie. $\frac{(n-2) \cdot 180}{n} = 144$.

Krok 2: pomnóż obie strony przez n. $180n - 360 = 144n$.

Krok 3: rozwiąż. $36n = 360$, czyli $n = 10$. To dziesięciokąt foremny.

Szybsza droga: kąt środkowy to $180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ}$, więc $n = \frac{360^{\circ}}{36^{\circ}} = 10$. Obie metody dają ten sam wynik, druga jest szybsza w zadaniach zamkniętych.

Zadanie 3: kąt wpisany w dziesięciokącie (Matura czerwiec 2025, zadanie 20)

Na dziesięciokącie foremnym $ABCDEFGHIJ$ opisano okrąg o środku $S$. Miara kąta wpisanego $AGD$ jest równa: A) $18^{\circ}$, B) $36^{\circ}$, C) $54^{\circ}$, D) $60^{\circ}$.

Krok 1: podziel okrąg na łuki. Wierzchołki dziesięciokąta foremnego dzielą okrąg opisany na 10 równych łuków, każdy o mierze $\frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ}$.

Krok 2: znajdź łuk, na którym oparty jest kąt. Kąt $AGD$ ma wierzchołek w punkcie $G$, a ramiona przechodzą przez $A$ i $D$. Jest więc oparty na łuku od $A$ do $D$ niezawierającym punktu $G$: to łuki $AB$, $BC$ i $CD$, razem $3 \cdot 36^{\circ} = 108^{\circ}$.

Krok 3: zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym. Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku: $\frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}$. Prawidłowa odpowiedź to C.

To zadanie pokazuje typowe połączenie tematów: wielokąt foremny plus twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym. Cały arkusz z tej sesji przećwiczysz na stronie matury z czerwca 2025.

Zadanie 4: od sumy kątów do liczby przekątnych

Suma kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wynosi $1440^{\circ}$. Oblicz liczbę jego przekątnych.

Krok 1: wyznacz n. $(n-2) \cdot 180 = 1440$, więc $n - 2 = 8$, czyli $n = 10$.

Krok 2: policz przekątne. $\frac{10 \cdot (10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$.

Odpowiedź: wielokąt ma 35 przekątnych.

Zadanie 5: sześciokąt foremny wpisany w okrąg

Sześciokąt foremny jest wpisany w okrąg o promieniu 6. Oblicz obwód i pole tego sześciokąta.

Krok 1: wykorzystaj własność R = a. W sześciokącie foremnym bok jest równy promieniowi okręgu opisanego, więc $a = 6$.

Krok 2: oblicz obwód. $L = 6a = 6 \cdot 6 = 36$.

Krok 3: oblicz pole. $P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}$.

Odpowiedź: obwód wynosi 36, a pole $54\sqrt{3}$.

Typowe pułapki w zadaniach o wielokątach

• •Zapominanie o dzieleniu przez 2 we wzorze na przekątne. Iloczyn $n(n-3)$ liczy każdą przekątną dwukrotnie. W zadaniu 1 dystraktorem było właśnie 28 zamiast 14.
• •Mylenie kąta wewnętrznego z kątem środkowym. Kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego to $144^{\circ}$, a kąt środkowy $36^{\circ}$. Suma tych dwóch kątów zawsze daje $180^{\circ}$, więc masz szybki test poprawności obliczeń.
• •Odejmowanie 2 zamiast 3 we wzorze na przekątne. Z wierzchołka nie poprowadzisz przekątnej do niego samego ani do dwóch sąsiadów, dlatego w liczniku stoi $n-3$.
• •Stosowanie wzoru na kąt foremny do wielokąta, który foremny nie jest. Suma $(n-2) \cdot 180^{\circ}$ działa dla każdego wielokąta wypukłego, ale dzielenie przez $n$ daje miarę kąta tylko wtedy, gdy wszystkie kąty są równe.
• •Odpowiadanie na złe pytanie. Jeśli obliczysz $n = 10$, a pytanie brzmi o liczbę przekątnych, zaznaczenie odpowiedzi "10" to strata punktu. Po obliczeniach zawsze wróć do treści pytania.

Checklista: co musisz umieć przed maturą

Wszystkie twierdzenia z tego działu zbiera nasz przewodnik po planimetrii na maturze. Jeśli chcesz przećwiczyć więcej zadań, wejdź na stronę działu Planimetria albo przejrzyj zadania CKE z planimetrii z rozwiązaniami, a wzory na pola wszystkich figur powtórzysz w zestawieniu pól i obwodów.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie