Jak obliczyć kąt wpisany i środkowy w okręgu - twierdzenie, dowód, zadania matura

Kąt wpisany i kąt środkowy to temat, na którym maturzysta zarabia łatwe punkty - pod warunkiem, że zna jedno twierdzenie i cztery wnioski z niego. Zadania z kątami w okręgu pojawiają się na maturze regularnie, często wśród zadań zamkniętych za 1-2 punkty. Jeśli masz dobrze opanowane to twierdzenie, wyciągasz z niego punkty w 30 sekund. Jeśli nie - tracisz je, a często tracisz też kolejne punkty w zadaniu otwartym, w którym kąt wpisany jest tylko etapem do rozwiązania.

W tym poradniku tłumaczę wszystko od zera. Najpierw definicje (kąt środkowy, kąt wpisany, łuk), potem główne twierdzenie z pełnym dowodem rozbitym na trzy przypadki, dalej cztery praktyczne wnioski (kąt oparty na średnicy, kąty oparte na tym samym łuku, czworokąt wpisany w okrąg, kąt między cięciwą a styczną), wreszcie pięć rozwiązanych zadań w stylu maturalnym (ostatnie to prawdziwe zadanie z arkusza CKE) i lista typowych pułapek. Robię to tak, żebyś po przeczytaniu mógł podejść do dowolnego zadania z kątami w okręgu i wiedzieć, od czego zacząć.

Kąt środkowy - definicja i miara

Kąt środkowy w okręgu to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona są promieniami. Krótko: bierzesz środek $O$, dwa promienie $OA$ i $OB$, i kąt $\sphericalangle AOB$ jest kątem środkowym.

Każdemu kątowi środkowemu odpowiada pewien łuk - ten, który leży "wewnątrz" tego kąta. I tutaj mamy kluczową własność: miara kąta środkowego jest równa mierze łuku, na którym jest oparty. Mierząc łuk w stopniach przyjmujemy, że cały okrąg ma $360^\circ$. Jeśli więc cięciwa $AB$ wycina łuk o mierze $80^\circ$, to kąt środkowy $\sphericalangle AOB$ ma dokładnie $80^\circ$.

Z tego płynie pierwszy praktyczny wniosek: jeżeli łuk $AB$ stanowi $\frac{k}{n}$ długości całego okręgu, to kąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę $\frac{k}{n} \cdot 360^\circ$. Wracają tu czasem zadania typu "łuk ma długość $\frac{4}{9}$ długości okręgu" - wystarczy pomnożyć przez $360^\circ$.

W zadaniach maturalnych spotkasz też kąt środkowy wypukły (mniej niż $180^\circ$) i wklęsły (więcej niż $180^\circ$). Suma obu jest oczywiście równa pełnemu kątowi, czyli $360^\circ$. Jeśli z rysunku nie wynika jednoznacznie, o który chodzi, popatrz na to, po której stronie cięciwy $AB$ jest zaznaczony punkt definiujący łuk.

Kąt wpisany - definicja

Kąt wpisany w okrąg to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona są cięciwami tego okręgu. Innymi słowy: punkt $C$ leży na okręgu, z niego wychodzą dwie cięciwy do punktów $A$ i $B$ leżących też na okręgu, i kąt $\sphericalangle ACB$ jest kątem wpisanym.

Łuk, na którym kąt wpisany jest oparty, to ten łuk $AB$, który nie zawiera wierzchołka $C$. To istotne, bo z dwóch łuków wyciętych przez cięciwę $AB$ (krótszy i dłuższy) tylko jeden jest "obsługiwany" przez kąt z wierzchołkiem w $C$.

Kąt wpisany może być ostry, prosty albo rozwarty. Prosty jest wtedy, gdy jest oparty na średnicy (półokręgu), rozwarty, gdy jest oparty na łuku dłuższym niż półokrąg. Punkt $C$ leży na okręgu i jest różny od $A$ i $B$, więc nigdy nie leży na cięciwie $AB$ i kąt wpisany nie może być półpełny.

Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

To jest twierdzenie, dla którego pisałem ten poradnik. Wymyśl je raz, a wracaj do niego zawsze.

Twierdzenie: Jeżeli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku, to miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego. Krótko:
$\alpha = \frac{1}{2} \beta$
gdzie $\alpha$ to kąt wpisany, a $\beta$ - kąt środkowy oparty na tym samym łuku. Z tego od razu wynika równoważna forma, której często używa CKE:
$\beta = 2\alpha$
"Kąt środkowy to dwa razy kąt wpisany oparty na tym samym łuku".

Pamiętaj o słowie kluczowym: oparte na tym samym łuku. Jeśli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na różnych łukach (na przykład jeden patrzy na łuk krótszy, drugi na dłuższy), to twierdzenie nie działa w takiej prostej postaci - musisz rozłożyć zadanie na łuki i pracować z każdym osobno.

Dowód twierdzenia o kącie wpisanym

Dowód jest ładny i warto go znać, bo czasem CKE prosi o uzasadnienie z odwołaniem do tego twierdzenia, a w zadaniach na dowód z planimetrii jest to standardowy budulec. Rozbijamy go na trzy przypadki, w zależności od położenia środka okręgu względem kąta wpisanego.

Przypadek 1 - środek leży na jednym z ramion kąta wpisanego.

Niech $C$ będzie wierzchołkiem kąta wpisanego, a środek okręgu $O$ niech leży na promieniu $CB$. Wtedy odcinek $CB$ jest średnicą okręgu. Trójkąt $AOC$ jest równoramienny, bo $|OA| = |OC| = r$. Kąty przy podstawie są więc równe, oznaczmy je $\alpha$: $\sphericalangle OCA = \sphericalangle OAC = \alpha$.

Kąt $\sphericalangle AOB$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $AOC$ przy wierzchołku $O$. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym (równa się sumie dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych): $\sphericalangle AOB = 2\alpha$. Czyli $\beta = 2\alpha$, co należało udowodnić.

Przypadek 2 - środek leży wewnątrz kąta wpisanego.

Niech środek $O$ leży wewnątrz kąta $\sphericalangle ACB$. Poprowadźmy z punktu $C$ średnicę $CD$ (czyli przedłużmy $CO$ do drugiego punktu okręgu). Ta średnica dzieli kąt $\sphericalangle ACB$ na dwa kąty: $\sphericalangle ACD = \alpha_1$ i $\sphericalangle DCB = \alpha_2$. Z przypadku 1 wiemy, że $\sphericalangle AOD = 2\alpha_1$ oraz $\sphericalangle DOB = 2\alpha_2$. Dodając stronami: $\sphericalangle AOB = 2\alpha_1 + 2\alpha_2 = 2(\alpha_1 + \alpha_2) = 2\alpha$. Gotowe.

Przypadek 3 - środek leży na zewnątrz kąta wpisanego.

Tym razem średnica $CD$ leży na zewnątrz kąta $\sphericalangle ACB$. Z przypadku 1: $\sphericalangle DOB = 2 \cdot \sphericalangle DCB$ oraz $\sphericalangle DOA = 2 \cdot \sphericalangle DCA$. Odejmując: $\sphericalangle AOB = \sphericalangle DOB - \sphericalangle DOA = 2(\sphericalangle DCB - \sphericalangle DCA) = 2 \cdot \sphericalangle ACB$. Również $\beta = 2\alpha$, co kończy dowód.

Te trzy przypadki wyczerpują wszystkie możliwe położenia środka względem kąta wpisanego, więc twierdzenie zachodzi zawsze. Większość zadań na maturze nie wymaga przytaczania dowodu - wystarczy go raz przerobić, żeby wiedzieć, dlaczego twierdzenie jest prawdziwe i czemu można mu ufać.

Cztery wnioski, których nauczysz się na pamięć

Z głównego twierdzenia wyciąga się cztery praktyczne wnioski, które wracają w zadaniach. Naucz się ich nie tylko jako wzorów, ale przede wszystkim jako "schematu rozpoznawania" sytuacji na rysunku.

Wniosek 1 - kąt wpisany oparty na średnicy

Jeżeli cięciwa $AB$ jest średnicą okręgu, to kąt środkowy $\sphericalangle AOB$ ma miarę $180^\circ$ (bo jest kątem półpełnym - punkty $A$, $O$, $B$ są współliniowe). Z twierdzenia wynika natychmiast, że każdy kąt wpisany oparty na tej średnicy ma miarę:
$\alpha = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. To jest jeden z najczęściej wykorzystywanych wniosków na maturze. Widzisz na rysunku trójkąt wpisany w okrąg, którego jeden bok jest średnicą - od razu wiesz, że trójkąt jest prostokątny, z przeciwprostokątną równą tej średnicy. Często łączy się to z twierdzeniem Pitagorasa i jest gotowy schemat zadania.

Działa to też w drugą stronę: każdy trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg, którego średnicą jest przeciwprostokątna. To z kolei wykorzystujesz w zadaniach o promieniu okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym.

Wniosek 2 - kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe

Jeśli dwa różne kąty wpisane są oparte na tym samym łuku (z dwóch różnych wierzchołków na okręgu patrzą na ten sam fragment łuku), to mają tę samą miarę. Bo każdy z nich jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym łuku, więc oba są równe.

W praktyce: jeżeli punkty $C$ i $D$ leżą na okręgu po tej samej stronie cięciwy $AB$, to $\sphericalangle ACB = \sphericalangle ADB$. To pozwala "przeskakiwać" z jednego trójkąta wpisanego do drugiego.

Wniosek 3 - czworokąt wpisany w okrąg

Jeżeli czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, to sumy miar jego przeciwległych kątów są równe $180^\circ$:
$\sphericalangle A + \sphericalangle C = 180^\circ$
$\sphericalangle B + \sphericalangle D = 180^\circ$

Dowód jest jednolinijkowy. Kąt $\sphericalangle A$ jest wpisany, oparty na łuku $BCD$ (tym, który nie zawiera $A$). Kąt $\sphericalangle C$ jest wpisany, oparty na łuku $BAD$. Razem te dwa łuki tworzą cały okrąg, więc suma odpowiadających im kątów środkowych to $360^\circ$. Suma kątów wpisanych to połowa tej liczby, czyli $180^\circ$.

To twierdzenie ma też wersję odwrotną - jeśli w czworokącie sumy przeciwległych kątów to $180^\circ$, to można na nim opisać okrąg. To częsty trik w zadaniach z planimetrii.

Wniosek 4 - kąt między cięciwą a styczną

Jeżeli z punktu $A$ na okręgu poprowadzimy styczną do okręgu i cięciwę $AB$, to kąt między cięciwą a styczną jest równy kątowi wpisanemu opartemu na cięciwie $AB$ (po przeciwnej stronie cięciwy):
$\sphericalangle (\text{styczna}, AB) = \sphericalangle ACB$
gdzie $C$ jest dowolnym punktem na drugim łuku.

To jest bezpośrednia konsekwencja tego, że w punkcie styczności promień jest prostopadły do stycznej (więcej o tym w poradniku Jak wyznaczyć równanie stycznej do okręgu). Można pokazać, że ten kąt też jest równy połowie odpowiedniego kąta środkowego, więc jest tak samo "wpisanopodobny".

Pojawia się w nowej formule CKE, więc warto go znać dokładnie. W jednym z zadań treningowych CKE dla poziomu podstawowego (znajdziesz je w naszej bazie) kąt między cięciwą $AB$ a styczną do okręgu w punkcie $A$ ma miarę $62^\circ$, a pytanie dotyczy kąta $\beta$ zaznaczonego na rysunku. Według klucza $\beta = 124^\circ$, czyli $2 \cdot 62^\circ$. Tyle ma kąt środkowy oparty na cięciwie $AB$, bo kąt między cięciwą a styczną, tak jak kąt wpisany, jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Zadanie 21 (matura czerwiec 2024) - łuk jako ułamek okręgu ↗

Matura czerwiec 2024Zadanie 21Planimetria1 pkt

Punkty $A, B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Długość łuku $A B$, na którym jest oparty kąt wpisany $A C B$, jest równa $\frac{1}{5}$ długości okręgu (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego $A C B$ jest równa

• A. $18^{\circ}$
• B. $30^{\circ}$
• C. $36^{\circ}$
• D. $72^{\circ}$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie. Najpierw kąt środkowy oparty na łuku $AB$. Łuk $AB$ to $\frac{1}{5}$ całego okręgu, a cały okrąg odpowiada kątowi pełnemu $360^\circ$, więc:
$\sphericalangle ASB = \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$ Kąt wpisany $ACB$ jest oparty na tym samym łuku, więc jest dwa razy mniejszy:
$\sphericalangle ACB = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$

Odpowiedź: C, czyli $36^\circ$.

Odpowiedź D, czyli $72^\circ$, to kąt środkowy. Wybiera ją ten, kto zatrzyma się po pierwszym kroku i nie podzieli wyniku na pół.

Schemat "łuk to ułamek okręgu" widzisz często - znasz długość łuku w jednostkach okręgu, mnożysz przez $360^\circ$, dostajesz kąt środkowy, dzielisz na pół, dostajesz kąt wpisany. Trzy kroki, trzy linijki rozwiązania.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Planimetria

Typowe pułapki i błędy

Pomylenie łuków. Najczęstszy błąd - patrzysz na kąt wpisany i odruchowo wiążesz go z pierwszym lepszym kątem środkowym, który widzisz. A trzeba sprawdzić, czy oba są oparte na tym samym łuku. Wierzchołek kąta wpisanego musi leżeć na drugim łuku niż ten, na którym kąt jest oparty. Zaznacz sobie ołówkiem łuk, na którym jest oparty kąt wpisany - to jest łuk po przeciwnej stronie wierzchołka.

Kąt środkowy wklęsły. Niektóre zadania używają wklęsłego kąta środkowego (większego niż $180^\circ$). Wtedy kąt wpisany może wyjść większy niż $90^\circ$ - i to jest poprawne. Klucz: $2\alpha$ musi się zmieścić w $360^\circ$, a kąt wpisany może być rozwarty.

Trójkąt równoramienny z promieniami. Każdy odcinek między dwoma punktami okręgu i środkiem tworzy trójkąt równoramienny (dwa boki to promienie). Wykorzystuj to. Zadania CKE bardzo często mają w treści "Kąt $\sphericalangle OAB$ ma miarę $\alpha$" - z tego od razu masz $\sphericalangle OBA = \alpha$ i kąt środkowy $\sphericalangle AOB = 180^\circ - 2\alpha$.

Mylenie kąta między cięciwą a styczną z kątem wpisanym. Wniosek 4 mówi, że kąt między cięciwą a styczną jest równy odpowiedniemu kątowi wpisanemu (z drugiego łuku) - a nie kątowi środkowemu. Jeśli widzisz w treści "kąt między cięciwą a styczną", to traktuj go tak jak kąt wpisany, nie jak środkowy. Wykorzystaj to w zadaniach mieszanych ze styczną do okręgu.

Pominięcie wpisalności. Jeśli zadanie mówi "czworokąt wpisany w okrąg", ZAWSZE używaj wniosku 3 - to jest dodatkowe równanie, które autor zadania świadomie ci podarował. Bez niego problem nie ma rozwiązania jednoznacznego.

Zła kolejność liter. Kąt $\sphericalangle ACB$ to ten sam co $\sphericalangle BCA$ - kolejność skrajnych liter nie ma znaczenia, ale środkowa litera (wierzchołek) - tak. Jeśli pomylisz wierzchołek, rachunek będzie odnosił się do innego kąta.

Brak rysunku. W zadaniach z planimetrii pierwsze 30 sekund spędź na narysowaniu sytuacji. Zaznacz promienie, kąt środkowy, łuk, na którym jest oparty kąt wpisany. Bez rysunku łatwo o błąd w identyfikacji łuków.

Jak rozpoznać typ zadania w pół minuty

Zadania z kątami w okręgu da się szybko sklasyfikować i każdy typ ma własny schemat rozwiązania:

Jeśli widzisz kąt środkowy i kąt wpisany na rysunku, to klasyczne podstawienie $\alpha = \frac{1}{2}\beta$. Sprawdź tylko, czy są na tym samym łuku.

Jeśli widzisz trójkąt wpisany w okrąg ze średnicą jako bokiem, to trójkąt jest prostokątny, a kąt naprzeciw średnicy ma $90^\circ$. Dalej idziesz Pitagorasem lub trygonometrią.

Jeśli widzisz czworokąt wpisany w okrąg, to przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$. Plus suma wszystkich kątów to $360^\circ$ - razem masz układ równań.

Jeśli widzisz dwa kąty wpisane patrzące na tę samą cięciwę z tej samej strony, to są równe.

Jeśli widzisz kąt między styczną a cięciwą, to jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (z przeciwnego łuku).

Jeśli widzisz trójkąt z dwoma wierzchołkami na okręgu i środkiem okręgu, to jest równoramienny. To bardzo często wystarcza do całego rozwiązania.

Powiązane tematy na maturze

Twierdzenie o kącie wpisanym świetnie współgra z innymi zagadnieniami planimetrii. Warto je opanować razem, bo na maturze coraz częściej pojawiają się zadania łączące kilka twierdzeń w jednym poleceniu. Sprawdź:

• •Pole trójkąta - 8 wzorów - wzór $P = \frac{abc}{4R}$ łączy pole trójkąta z promieniem okręgu opisanego, który dostajesz z twierdzenia o kącie wpisanym.
• •Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie - wzory $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$ i pochodne często wymagają znajomości kątów wpisanych.
• •Twierdzenie sinusów i cosinusów - twierdzenie sinusów to w istocie konsekwencja twierdzenia o kącie wpisanym.
• •Kąty w figurach - wpisane, środkowe, w trójkącie - szerszy przegląd kątów w geometrii płaskiej.
• •Trójkąt 30-60-90 i 45-45-90 - klasyczne trójkąty, które często pojawiają się w zadaniach z okręgiem opisanym.
• •Twierdzenie Pitagorasa - zadania i zastosowania - obowiązkowe do zadań z trójkątem wpisanym w okrąg, z bokiem na średnicy.

Jeśli chcesz przećwiczyć kąty wpisane na zadaniach maturalnych, polecam zacząć od zadania 16 z arkusza Matura maj 2011, potem zadania 17 z Matura maj 2020 i zadania 21 z Matura maj 2023. W pierwszym pułapką jest wklęsły kąt środkowy, a w dwóch pozostałych trzeba najpierw zauważyć trójkąt równoramienny zbudowany z dwóch promieni.

Checklist - co musisz umieć przed maturą

Przed wejściem do sali sprawdź, czy potrafisz wszystko z poniższej listy bez zaglądania do notatek. Jeśli choć przy jednej rzeczy się zawahasz - wróć i przerób ją jeszcze raz.

Definicje: kąt środkowy (wierzchołek w środku, ramiona to promienie), kąt wpisany (wierzchołek na okręgu, ramiona to cięciwy), łuk, na którym kąt jest oparty.

Główne twierdzenie: $\alpha = \frac{1}{2}\beta$, gdy oba są oparte na tym samym łuku.

Wniosek 1: kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$.

Wniosek 2: kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

Wniosek 3: w czworokącie wpisanym sumy przeciwległych kątów to $180^\circ$.

Wniosek 4: kąt między cięciwą a styczną jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie z przeciwnego łuku.

Wzór "łuk ułamkiem okręgu": jeśli łuk to $\frac{k}{n}$ długości okręgu, kąt środkowy to $\frac{k}{n} \cdot 360^\circ$.

Trójkąt z dwoma wierzchołkami na okręgu i środkiem jest zawsze równoramienny.

Mając to opanowane, kąty w okręgu nie zabiorą ci na maturze więcej niż minutę za zadanie, a to są łatwe punkty. Powodzenia.

Następny krok Losuj kolejne zadanie