Jak obliczyć pole sześciokąta foremnego - wzór, promień, zadania matura

Sześciokąt foremny to jedna z tych figur, które wracają na maturze regularnie, a wielu uczniów mimo to traci na niej punkty. Pojawia się w zadaniach z planimetrii jako samodzielna figura, w stereometrii jako podstawa graniastosłupa albo ostrosłupa, i nawet w geometrii analitycznej jako figura wpisana w okrąg. Cała tajemnica polega na jednym fakcie: sześciokąt foremny dzieli się na sześć identycznych trójkątów równobocznych. Jeśli to opanujesz, wszystkie wzory wyprowadzisz sam z trójkąta, bez wkuwania na pamięć.

W tym poradniku rozkładam temat na czynniki pierwsze. Najpierw definicja i kluczowe własności (kąty, przekątne, promienie). Potem wzór na pole sześciokąta foremnego i dowód krok po kroku - zobaczysz, skąd bierze się magiczny współczynnik $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. Następnie wzory na promień okręgu wpisanego $r$ (apotema) i opisanego $R$, bo CKE używa ich na zmianę. Dalej sześć rozwiązanych przykładów, w tym dwa stereometryczne (graniastosłup i ostrosłup o podstawie sześciokąta foremnego), które są typowymi 5-punktowymi zadaniami otwartymi z matury podstawowej.

Czym jest sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny to wielokąt o sześciu bokach równej długości i sześciu równych kątach wewnętrznych. Z samej tej definicji wynikają wszystkie pozostałe własności. Najważniejsza z nich, którą musisz zapamiętać natychmiast: jeśli połączysz środek sześciokąta foremnego ze wszystkimi sześcioma wierzchołkami, otrzymasz sześć przystających trójkątów równobocznych o boku równym bokowi sześciokąta.

Skąd to wynika? Suma kątów w wielokącie wypukłym o $n$ bokach wynosi $(n-2) \cdot 180^\circ$. Dla $n = 6$: $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$. W sześciokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc każdy ma miarę:
$$\alpha_{wew} = \dfrac{720^\circ}{6} = 120^\circ$$ Z drugiej strony kąt środkowy (czyli kąt między dwoma promieniami łączącymi środek z sąsiednimi wierzchołkami) wynosi:
$$\alpha_{sr} = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$

Każdy z sześciu trójkątów, na które podzielony jest sześciokąt, ma kąt środkowy $60^\circ$, a pozostałe dwa kąty są równe, bo trójkąt jest równoramienny (dwa ramiona to promienie). Suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$, więc każdy z pozostałych kątów to $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$. Wszystkie kąty po $60^\circ$ - czyli każdy z tych trójkątów jest równoboczny. Dlatego ramię (czyli promień okręgu opisanego) jest równe podstawie (czyli bokowi sześciokąta). Ten jeden fakt rozwiązuje połowę zadań z sześciokątem foremnym.

Podstawowe parametry sześciokąta foremnego

Niech $a$ oznacza długość boku sześciokąta foremnego. Z faktu, że figura składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$, dostajemy serię wzorów. Wszystkie wyprowadzę z zależności w trójkącie równobocznym, więc jeśli któryś będziesz miał wątpliwości, możesz go odtworzyć w głowie w 10 sekund.

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym:
$$\boxed{R = a}$$

Promień okręgu opisanego to odcinek od środka sześciokąta do dowolnego wierzchołka. Z poprzedniej sekcji wiemy, że każdy z sześciu wewnętrznych trójkątów jest równoboczny, więc $R$ jest jego ramieniem, równym podstawie $a$.

Promień okręgu wpisanego (apotema):
$$\boxed{r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$$

Promień okręgu wpisanego to odcinek od środka prostopadły do boku sześciokąta. W trójkącie równobocznym o boku $a$ ten odcinek jest po prostu wysokością trójkąta, a wysokość trójkąta równobocznego wynosi $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. To samo, co stosunek krótszej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej w trójkącie $30^\circ-60^\circ-90^\circ$.

Wysokość sześciokąta (odległość między dwoma równoległymi bokami):
$$h = 2r = a\sqrt{3}$$ Długość najdłuższej przekątnej (przechodzącej przez środek, łączącej przeciwległe wierzchołki):
$$d_{max} = 2R = 2a$$ Długość krótszej przekątnej (łączącej wierzchołki przedzielone jednym):
$$d_{min} = a\sqrt{3}$$

Ta krótsza przekątna to nic innego jak dwie wysokości trójkąta równobocznego ułożone w jeden odcinek, więc $2 \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. Sprawdza się też przez twierdzenie Pitagorasa w trójkącie utworzonym przez dwa sąsiednie boki sześciokąta i tę przekątną.

Wzór na pole sześciokąta foremnego

To wzór, który musisz znać na pamięć, choć wyprowadzenie zajmuje 15 sekund i warto je rozumieć. Sześciokąt składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$. Pole trójkąta równobocznego wynosi $P_{tr} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$, więc pole sześciokąta foremnego to:
$$P = 6 \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{6 a^2 \sqrt{3}}{4}$$
$$\boxed{P = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}}$$

Jeśli zapomnisz wzoru w połowie zadania - odtwórz go z sześciu trójkątów. Ten patent działa też dla każdej innej figury z grupy "n-kąt foremny": dzielisz na $n$ trójkątów równoramiennych i liczysz pole jednego razy $n$.

Ten sam wzór można zapisać przez promień okręgu wpisanego (apotemę). Korzystając z wzoru na pole wielokąta foremnego: $P = \dfrac{1}{2} \cdot O \cdot r$, gdzie $O$ to obwód. Dla sześciokąta foremnego $O = 6a$, więc:
$$P = \dfrac{1}{2} \cdot 6a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$$ Wychodzi to samo. Trzeci wariant - przez promień okręgu opisanego, czyli $R$. Bo $R = a$, to:
$$P = \dfrac{3 R^2 \sqrt{3}}{2}$$

Wszystkie trzy wzory są tak naprawdę tym samym, tylko w różnych "walutach": w bokach, w $R$ albo w $r$.

Pole sześciokąta wyrażone przez krótszą przekątną

Ostatni wariant, który zaskakuje uczniów na maturze. Gdy zadanie podaje ci nie bok, tylko krótszą przekątną $d_{min} = a\sqrt{3}$, to $a = \dfrac{d_{min}}{\sqrt{3}} = \dfrac{d_{min}\sqrt{3}}{3}$. Podstawiając:
$$P = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{d_{min}^2}{3} = \dfrac{d_{min}^2 \sqrt{3}}{2}$$ Z najdłuższą przekątną też prosto: $d_{max} = 2a$, więc $a = \dfrac{d_{max}}{2}$:
$$P = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{d_{max}^2}{4} = \dfrac{3 d_{max}^2 \sqrt{3}}{8}$$

Nie ucz się tych dwóch wariantów na pamięć - ucz się zamiany na bok $a$, a potem podstawiasz do głównego wzoru. Mniej do zapamiętania, mniej miejsc na pomyłkę.

Przykład 1 - pole z podanego boku

Zadanie: oblicz pole sześciokąta foremnego o boku długości $4\,\mathrm{cm}$.

Krok 1. Podstaw do wzoru $P = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$:
$$P = \dfrac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{48\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$$

Krok 2. Sprawdzenie alternatywne: sześciokąt to sześć trójkątów równobocznych o boku $4$. Pole jednego: $\dfrac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$. Razem $6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$. Zgadza się.

Wartość przybliżona: $24\sqrt{3} \approx 41{,}57\,\mathrm{cm}^2$. Na maturze CKE oczekuje wyniku dokładnego z pierwiastkiem, nie przybliżenia. Zostaw $24\sqrt{3}$, nie podmieniaj na 41,57.

Przykład 2 - znajdź bok znając pole

Zadanie: pole sześciokąta foremnego wynosi $54\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$. Oblicz długość boku.

Krok 1. Z głównego wzoru:
$$\dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}$$ Krok 2. Mnożymy obie strony przez $2$ i dzielimy przez $\sqrt{3}$:
$$3 a^2 = 108 \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6\,\mathrm{cm}$$

Krok 3. Sprawdzenie: dla $a = 6$ mamy $P = \dfrac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}$. Zgadza się.

Drobny niuans, na którym uczniowie się wykładają: jeśli zadanie podaje pole bez $\sqrt{3}$, na przykład "$P = 60\,\mathrm{cm}^2$", to $a$ najczęściej wychodzi z pierwiastkiem zagnieżdżonym (np. $a = \dfrac{2\sqrt{30}}{\sqrt[4]{27}}$). Sprawdź wtedy, czy faktycznie zadanie chce odpowiedzi liczbowej, czy może wystarczy zostawić wzór z literą.

Przykład 3 - oblicz R i r znając pole

Zadanie: pole sześciokąta foremnego wynosi $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{cm}^2$. Oblicz promień okręgu wpisanego i opisanego.

Krok 1. Wzór na pole: $\dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}$. Stąd $a^2 = 1$, więc $a = 1\,\mathrm{cm}$.

Krok 2. Promień okręgu opisanego: $R = a = 1\,\mathrm{cm}$.

Krok 3. Promień okręgu wpisanego: $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{cm}$.

To zadanie sprawdza, czy nie pomyliłeś $R$ z $r$. Sześciokąt foremny to jedyny wielokąt foremny, w którym $R = a$, więc warto wbić sobie ten fakt do głowy. Więcej o tym, kiedy stosować $R$, a kiedy $r$, znajdziesz w poradniku promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie - logika jest ta sama dla każdego wielokąta foremnego.

Przykład 4 - graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego

Zadanie: dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź podstawy ma długość $3\,\mathrm{cm}$, a wysokość graniastosłupa wynosi $5\,\mathrm{cm}$. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

Krok 1. Pole podstawy (sześciokąt foremny o boku $a = 3$):
$$P_p = \dfrac{3 \cdot 9 \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{27\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{cm}^2$$ Krok 2. Objętość graniastosłupa (skorzystaj z wzoru na objętość graniastosłupa):
$$V = P_p \cdot H = \dfrac{27\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \dfrac{135\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{cm}^3$$ Krok 3. Pole powierzchni bocznej. Graniastosłup ma $6$ ścian bocznych, każda to prostokąt o wymiarach $a \times H = 3 \times 5$:
$$P_b = 6 \cdot 3 \cdot 5 = 90\,\mathrm{cm}^2$$ Krok 4. Pole powierzchni całkowitej:
$$P_c = 2 P_p + P_b = 2 \cdot \dfrac{27\sqrt{3}}{2} + 90 = 27\sqrt{3} + 90\,\mathrm{cm}^2$$

To klasyczne zadanie z matury - cała trudność leży w pamiętaniu, że $P_b$ bocznej liczymy raz, ale podstaw są dwie, więc $2 P_p$. Częsty błąd: ktoś dodaje $P_p$ raz, bo "podstawa jest u dołu" - tracą $\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$ punktu za nieuwagę.

Przykład 5 - ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Zadanie: ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy $a = 2$ i wysokość $H = 6$. Oblicz objętość i kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Krok 1. Pole podstawy: $P_p = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.

Krok 2. Objętość (z wzoru na objętość ostrosłupa):
$$V = \dfrac{1}{3} P_p \cdot H = \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}$$ Krok 3. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy. Krawędź boczna łączy wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy. Spodek wysokości ostrosłupa to środek sześciokąta foremnego, a odległość od środka do wierzchołka to $R = a = 2$. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość $H$, promień $R$ i krawędź boczną, kąt przy podstawie spełnia:
$$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{H}{R} = \dfrac{6}{2} = 3$$

Więcej o tym typie zadań w poradniku jak obliczyć kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa.

Krok 4. Bo $\mathrm{tg}\,\alpha = 3$, kąt jest ostry: $\alpha = \mathrm{arctg}\,3 \approx 71{,}57^\circ$. Na maturze CKE wystarcza zwykle podać $\mathrm{tg}\,\alpha = 3$ - sprawdź treść zadania.

Kluczowy moment tego zadania to świadomość, że $R = a$ dla sześciokąta foremnego. Wielu uczniów zaczyna kombinować, ile wynosi przekątna podstawy, a tu wystarczy zapamiętać jeden fakt.

Przykład 6 - kąt nachylenia ściany bocznej

Zadanie: ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy $a = 4$ i wysokość $H = 6$. Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Krok 1. Kąt między ścianą boczną a podstawą mierzymy w trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość ostrosłupa $H$, apotemę podstawy $r$ i apotemę ściany bocznej (czyli wysokość trójkąta będącego ścianą boczną).

Krok 2. Apotema podstawy: $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Krok 3. Kąt $\beta$ między ścianą boczną a podstawą:
$$\mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{H}{r} = \dfrac{6}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

Krok 4. Bo $\mathrm{tg}\,\sqrt{3}$ odpowiada kątowi $60^\circ$, to $\beta = 60^\circ$. Wynik dokładny.

Najczęstszy błąd w tym zadaniu: uczeń bierze $R$ zamiast $r$. Pamiętaj: do nachylenia ściany bocznej używasz apotemy podstawy $r$, do nachylenia krawędzi bocznej - promienia $R$. Dlatego dla sześciokąta foremnego dwa różne kąty wyjdą dwiema różnymi metodami, a ich zamiana to klasyczna 2-punktowa pomyłka.

Sześciokąt foremny w geometrii analitycznej

Czasami CKE wrzuca sześciokąt do układu współrzędnych. Najczęściej ze środkiem w $(0, 0)$ i jednym z wierzchołków na osi $Ox$. Wtedy współrzędne wierzchołków wynoszą:
$$A_k = (R \cos\theta_k, R \sin\theta_k), \quad \theta_k = k \cdot 60^\circ, \quad k = 0, 1, \ldots, 5$$

Dla $R = 1$:

Mając współrzędne, pole liczysz wzorem na pole trójkąta ze współrzędnych dla każdego z sześciu trójkątów, ale w praktyce szybciej skorzystać z gotowego wzoru $P = \dfrac{3 R^2 \sqrt{3}}{2}$.

Typowe pułapki, które kosztują punkty

1. Mylenie $R$ z $r$. Dla sześciokąta foremnego $R = a$ (promień okręgu opisanego), a $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (promień okręgu wpisanego, apotema). To DWA RÓŻNE odcinki. Ucz się tak: "Większy okrąg obejmuje wierzchołki, mniejszy dotyka boków".

2. Zapominanie, że $R = a$ tylko dla sześciokąta. W kwadracie $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, w trójkącie równobocznym $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Sześciokąt foremny to wyjątek, ale ucz się jego przez "sześć trójkątów równobocznych", a wszystko wskoczy na swoje miejsce.

3. Pole jako "$6 \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{2}$". Klasyczne potknięcie - ktoś bierze wzór na pole trójkąta równobocznego z dwójką w mianowniku (taki nie istnieje) zamiast z czwórką. Wzór to $P_{tr} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$, a nie $\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{2}$.

4. Mylenie wysokości sześciokąta z apotemą. Wysokość sześciokąta (odległość między dwoma równoległymi bokami) wynosi $2r = a\sqrt{3}$. Apotema to połowa wysokości, czyli $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

5. Liczenie najdłuższej przekątnej jako $a\sqrt{3}$. Najdłuższa przekątna to $2a$, a nie $a\sqrt{3}$. $a\sqrt{3}$ to krótsza przekątna (między wierzchołkami przedzielonymi jednym). W sześciokącie foremnym są DWIE różne długości przekątnych - łatwo je pomylić.

6. Pomijanie wymiarów w odpowiedzi. Jeśli pytanie jest o pole, dodawaj $\mathrm{cm}^2$. Objętość: $\mathrm{cm}^3$. Brak jednostki to często $-1$ punkt na maturze.

7. "Sześciokąt foremny to to samo co sześciokąt". Nie. Sześciokąt wypukły może być dowolny - bok różny od boku, kąty różne. Foremny = wszystkie boki i kąty równe. Wszystkie wzory z tego poradnika dotyczą TYLKO sześciokąta foremnego.

8. Niewłaściwe użycie $R$ w stereometrii. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym promień $R$ podstawy łączy środek z wierzchołkiem podstawy. To ten odcinek (a nie apotema) używasz do liczenia kąta nachylenia krawędzi bocznej. Apotemy $r$ używasz do kąta nachylenia ściany bocznej. Te dwa kąty są różne i CKE chętnie testuje ich rozróżnienie.

Skąd wziąć liczby? Zależności pomocnicze

Czasem zadanie podaje ci niestandardowy parametr i musisz zamienić go na bok $a$. Tabela zamian, którą warto mieć w głowie (dla sześciokąta foremnego o boku $a$):

Strategia: zamień podany parametr na $a$, a potem licz wszystko, czego zadanie chce. Nie ucz się 36 różnych wzorów, ucz się sześciu zamian na $a$ i jednego wzoru na pole.

Podsumowanie i checklista "co musisz umieć"

Zanim podejdziesz do matury, sprawdź, czy potrafisz z głowy odpowiedzieć na te pytania:

Jeśli wszystkie pozycje masz "ptaszki", sześciokąt foremny na maturze przestaje być problemem - staje się okazją do pewnych punktów. Najczęstsze zadania trafiają w typy z naszego poradnika planimetria - figury, pola, twierdzenia oraz w bardziej rozbudowane bryły opisane w stereometrii na maturze. Dla solidnego treningu wartościowe są też pokrewne tematy: pole trapezu, pole rombu i równoległoboku, pole koła i obwód okręgu, oraz pełna pole, obwód figur na maturze.

Powodzenia - sześciokąt foremny to figura, której nauka zwraca się natychmiast na każdej maturze, na której się pojawia. A pojawia się prawie co roku.