W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W tym zadaniu bardzo ważne jest to jak sobie oznaczymy poszczególne informacje. Oznaczmy więc sobie wszystko krok po kroku. Najpierw na rysunku nanieśmy kąty w naszym małym trójkącie APB:
|∢PAB|=α |∢PBA|=β |∢APB|=γ
Skoro dorysowane linie są dwusiecznymi, to także:
|∢PAB|=α |∢PBC|=β
No i na koniec oznaczmy jeszcze ostatni kąt:
|∢ACB|=δ
Krok 2. Zapisanie odpowiednich równań i nierówności.
Suma kątów trójkąta ABC jest równa 180°. Czyli:
2α+2β+δ=180°
Kąt δ jest na pewno dodatni (nie wiemy ile ma stopni, ale jest na pewno dodatni). To oznacza, że suma kątów 2α+2β jest mniejsza od 180°. Matematycznie możemy to zapisać jako:
2α+2β < 180° /:2 α+β < 90°
Krok 3. Zakończenie dowodu.
Nie wiemy jaka jest dokładna miara poszczególnych kątów, ale już wiemy, że suma kątów α+β<90°. Spójrzmy teraz na mały trójkąt APB. Tutaj suma kątów α+β+γ=180°. Skoro suma α+β jest mniejsza od 90°, to kąt γ musi mieć więcej niż 90° i w ten sposób możemy zakończyć nasz dowód.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.