Ciąg (9, x, 19) jest arytmetyczny, a ciąg (x, 42, y, z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=14, y=126, z=378
Krok 1. Wyznaczenie wartości wyrazu x.
Skorzystamy z ciągu arytmetycznego i z reguły, która mówi że drugi wyraz ciągu jest wynikiem średniej arytmetycznej pierwszego i trzeciego wyrazu. Całość możemy opisać wzorem:
a_n=(a_(n-1)+a_(n+1))/2 a₂=(a₁+a₃)/2 x=(9+19)/2 x=28/2 x=14
Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu q ciągu geometrycznego.
Podstawiając x=14 do ciągu geometrycznego otrzymamy ciąg (14,42,y,z). Znamy więc wartości dwóch wyrazów stojących obok siebie, a to z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość q:
q=a₂/a₁ q=42/14 q=3
Krok 3. Obliczenie wartości wyrazów y oraz z.
Znając wartość q bez problemu wyliczymy już dowolny wyraz tego ciągu geometrycznego np. korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu: a_n=a₁ · q^(n-1). Zatem:
a₃=a₁ · 3^(3-1) y=14 · 3² y=14 · 9=126 oraz a₄=a₁ · 3^(4-1) z=14 · 3³ z=14 · 27=378
Chcąc wyznaczyć np. trzeci wyraz ciągu geometrycznego mogliśmy też po prostu wymnożyć wartość drugiego wyrazu, czyli 42 przez iloraz, czyli przez 3, otrzymując w ten sposób y=126. Analogicznie obliczylibyśmy czwarty wyraz, mnożąc 126 przez 3 i otrzymując w ten sposób z=378.
Otrzymaliśmy w ten sposób następujące wyniki: x=14, y=126 oraz z=378.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.