Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (-2,2) i B = (2,10).

Krok 1. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty A i B.

Aby wyznaczyć prostą w postaci y=ax+b przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:

2=-2a+b 10=2a+b

Układ możemy rozwiązać dowolną metodą, najprościej jest go chyba jednak odjąć od siebie stronami, dzięki czemu otrzymamy:

-8=-4a a=2

Znając współczynnik a możemy jeszcze wyliczyć współczynnik b z dowolnego równania. Zatem:

2=-2 · 2+b 2=-4+b b=6

Wiemy już, że nasza prosta przechodząca przez punkty A i B opisana jest wzorem w postaci: y=2x+6.

Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka AB.

Symetralna odcinka dzieli dany odcinek na dwie równe części. Jeśli poznamy dokładne współrzędne tego punktu przecięcia się symetralnej z odcinkiem, to będziemy już bardzo blisko rozwiązania. Współrzędne środka odcinka AB obliczmy w następujący sposób:

S=((x_A+x_B)/2;(y_A+y_B)/2) S=((-2+2)/2;(2+10)/2) S=(0/2;12/2) S=(0;6)

Krok 3. Wyznaczenie równania symetralnej.

Symetralna musi być prostopadła względem prostej, której równanie wyznaczyliśmy sobie w pierwszym kroku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników a musi być równy -1. To oznacza, że skoro równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B ma współczynnik a=2, to nasza symetralna ma na pewno współczynnik a=-1/2 (bo 2 · -1/2=-1). W tym momencie wiemy już, że nasza prosta jest opisana wzorem y=-1/2 x+b. Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik b.

W drugim kroku obliczyliśmy, że symetralna przechodzi przez punkt S=(0;6). Już z samego tego faktu możemy odczytać współczynnik b tej prostej prostopadłej, bo współczynnik b mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina oś Oy. Bez liczenia możemy więc stwierdzić, że b=6. Gdybyśmy jednak tego nie dostrzegli (albo gdyby ten punkt miał inne współrzędne), to współczynnik b możemy wyliczyć podstawiając po prostu współrzędne tego punktu do równania prostej y=-1/2 x+b, czyli:

6=-1/2 · 0+b 6=0+b b=6

Nasza symetralna jest więc opisana wzorem y=-1/2 x+6.