W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60°. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=32√(3)/3
Krok 1. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skorzystamy tutaj z trójkąta prostokątnego ACE. Znamy długość |AC|=4 i znamy też miarę jednego z kątów |∢ACE|=60°. Te dwie dane posłużą nam do wyznaczenia wysokości graniastosłupa (czyli AE), a skorzystamy tutaj z funkcji tangensa:
tg60°=|AE|/|AC| √(3)=|AE|/4 |AE|=4√(3)
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że w swojej podstawie ma on kwadrat. Znamy przekątną tego kwadratu i jest ona równa d=|AC|=4. Z własności kwadratu wiemy też, że d=a√(2), a to pozwoli nam szybko wyliczyć długość krawędzi podstawy:
4=a√(2) a=4/√(2)=4 · √(2)/(√(2) · √(2))=4√(2)/2=2√(2)
Ta długość przyda nam się teraz do obliczenia pola podstawy.
Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku a=2√(2), to pole podstawy będzie równe:
P_p=(2√(2))²=4 · 2=8
Krok 4. Obliczenie objętości wyznaczonego ostrosłupa.
Musimy teraz obliczyć objętość ostrosłupa. Znamy jego wysokość h=4√(3), obliczyliśmy także że P_p=8, więc wystarczy już tylko podstawić te dane do standardowego wzoru na objętosć ostrosłupów:
V=1/3 · P_p · H V=1/3 · 8 · 4√(3) V=32√(3)/3
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.