Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3. Wówczas miara φ kąta DBC spełnia warunek
Odpowiedzi do wyboru
- A.20° < φ < 25°
- B.25° < φ < 30°
- C.30° < φ < 35°
- D.35° < φ < 40°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Spójrzmy na kąt ABC i załóżmy że ma on miarę α. O tym kącie wiemy, że jest dwukrotnie większy od poszukiwanego kąta φ, czyli:
|∢ABC|=α=2φ
Krok 2. Obliczenie miary kąta ABC.
Znamy długości przyprostokątnej AC oraz BC. Możemy więc posłużyć się funkcjami trygonometrycznymi i wyznaczyć miarę kąta ABC, który umownie oznaczyliśmy jako α. Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
tgα=5/3 tgα ≈ 1,67
Z tablic matematycznych musimy odczytać dla jakiego kąta tangens przyjmuje wartość bliską 1,67. Z takich tablic wynika, że dla kąta 59° tangens przyjmuje wartość 1,6643 i jest to najlepsze przybliżenie jakie możemy otrzymać, zatem możemy zapisać, że:
α ≈ 59°
Krok 3. Obliczenie miary kąta φ.
Wiemy, że kąt α jest dwukrotnie większy od kąta φ, zatem:
φ ≈ 59°:2 ≈ 29,5°
W związku z tym prawidłową odpowiedzią jest nierówność 25° < φ < 30°.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.