Punkty A=(-2,-8) i B=(14,-8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=|AC|. Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y=1/2 x-7. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy narysować sobie całą sytuację, tak aby było łatwiej zrozumieć co musimy policzyć:

Z rysunku powinniśmy wywnioskować, że kluczem do sukcesu będzie odnalezienie współrzędnych punktu D, który jest środkiem odcinka BC (wiemy że jest środkiem, bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części). Aby jednak tego dokonać, musimy poznać równanie prostej BC.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej BC.

Prostą BC możemy wyrazić równaniem y=ax+b. Aby poznać pełen wzór, to musimy obliczyć wartości współczynników a oraz b. O prostej BC wiemy, że jest prostopadła do prostej AD, zatem iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych musi być równy -1. Skoro prosta AD ma współczynnik a=1/2, to prosta BC ma ten współczynnik równy:

a · 1/2=-1 a=-2

To oznacza, że prosta BC wyraża się równaniem y=-2x+b. Brakuje nam jeszcze współczynnika b, a poznamy go podstawiając do tego równania współrzędne jednego z punktów przechodzących przez tą prostą, czyli punktu B=(14;-8):

y=-2x+b -8=-2 · 14+b -8=-28+b b=20

W ten oto sposób udało nam się wyznaczyć równanie prostej BC i jest to y=-2x+20.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu D.

Punkt D jest miejscem przecięcia się prostych BC oraz AD, zatem współrzędne tego punktu będą rozwiązaniem układu równań składającego się ze wzorów tych dwóch prostych:

y=1/2 x-7 y=-2x+20 Stosując metodę podstawiania otrzymamy: 1/2 x-7=-2x+20 5/2 x=27 5x=54 x=54/5 Znamy już współrzędną iksową punktu D, a współrzędną igrekową obliczymy podstawiając do jednego z równań wyliczonego przed chwilą iksa: y=-2x+20 y=-2 · 54/5+20 y=-108/5+20 y=-8/5 To oznacza, że D=(54/5;-8/5). Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu C. Ustaliliśmy już, że punkt D jest środkiem odcinka BC. Środek odcinka BC możemy opisać wzorem: D=((x_B+x_C)/2;(y_B+y_C)/2) Znając współrzędne środka D oraz punktu B obliczymy współrzędne punktu C. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową: x_D=(x_B+x_C)/2 54/5=(14+x_C)/2 108/5=14+x_C x_C=38/5 y_D=(y_B+y_C)/2 -8/5=(-8+y_C)/2 -16/5=-8+y_C y_C=24/5 Zatem poszukiwane przez nas współrzędne punktu C są następujące: C=(38/5;24/5)