Rozwiąż nierówność (x-1/2)x > 3(x-1/2)(x+1/3).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ (-1/2, 1/2)
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
(x-1/2)x > 3(x-1/2)(x+1/3) (x-1/2)x-3(x-1/2)(x+1/3) > 0
Wbrew pozorom nie jest to postać iloczynowa z której łatwo moglibyśmy wyznaczyć miejsca zerowe, bo w środku całego wyrażenia pojawia nam się odejmowanie. W związku z tym musimy uprościć całe wyrażenie w następujący sposób:
x²-1/2 x-(3x-3/2)(x+1/3) > 0 x²-1/2 x-(3x²+x-3/2 x-3/6) > 0 x²-1/2 x-3x²-x+3/2 x+1/2 > 0 -2x²+1/2 > 0
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, zatem musimy najpierw obliczyć miejsca zerowe, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: a=-2, b=0, c=1/2
Δ=b²-4ac=0²-4 · (-2) · 1/2=0-(-4)=0+4=4 √(Δ)=√(4)=2
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-0-2)/(2 · (-2))=-2/-4=1/2 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-0+2)/(2 · (-2))=2/-4=-1/2
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik a był ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak >).
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie przedział:
x ∈ (-1/2;1/2)
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.