Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA'B'C'D' jest romb ABCD. Przekątna AC' tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° , a przekątna BD' jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45° . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i wprowadźmy też proste oznaczenia kluczowych długości:

Skoro w podstawie graniastosłupa znajduje się romb to warto pamiętać, że przekątne rombu mają różne długości oraz przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym. Dzięki tym własnościom rombu będziemy w stanie wyliczać poszczególne długości.

Krok 2. Wyznaczenie długości pierwszej przekątnej podstawy.

Spójrzmy na trójkąt prostokątny ACC'. Odcinek AC oznaczony na rysunku jako c jest przekątną podstawy, którą wyliczymy korzystając z funkcji trygonometrycznych.

cos30°=c/8 √(3)/2=c/8 c=8√(3)/2 c=4√(3)

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.

Nadal patrzymy na trójkąt prostokątny ACC'. Znamy już dwie długości w tym trójkącie, więc trzecią długość, czyli wysokość CC' oznaczoną jako h możemy policzyć zarówno z Twierdzenia Pitagorasa jak i funkcji trygonometrycznych. Korzystając tym razem z sinusa zapiszemy, że:

sin30°=h/8 1/2=h/8 h=4

Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej przekątnej podstawy.

Teraz spójrzmy na trójkąt BDD'. Zawiera się w nim długość drugiej z przekątnych rombu, czyli bok BD oznaczony symbolem d. Ten trójkąt jest nie tylko trójkątem prostokątnym, ale także jest to trójkąt równoramienny (bo jest to trójkąt o kątach 45°, 45°, 90°). W związku z tym przyprostokątne tego trójkąta mają tą samą długość, a to z kolei oznacza, że:

d=h=4

Krok 5. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.

Znając długości przekątnych rombu możemy obliczyć pole podstawy, a będzie ono równe:

P_p=1/2 · c · d P_p=1/2 · 4√(3) · 4 P_p=2√(3) · 4 P_p=8√(3)

Krok 6. Wyznaczenie długości boku rombu.

Spójrzmy na trójkąt CDE. Jest to trójkąt prostokątny, bo przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Wiemy też, że przekątne przecinają się w połowie swojej długości, zatem:

|CE|=1/2 · c |CE|=1/2 · 4√(3) |CE|=2√(3) |DE|=1/2 d |DE|=1/2 · 4 |DE|=2

Skoro tak, to odcinek DC, oznaczony symbolem a, który jest długością boku rombu wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:

|CE|²+|DE|²=a² (2√(3))²+2²=a² 4 · 3+4=a² 12+4=a² a²=16 a=4 a=-4

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam a=4.

Krok 7. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. W skład tej powierzchni wejdą dwa pola podstawy (góra i dół) obliczone w piątym kroku (P_p=8√(3)) oraz cztery ściany boczne o wymiarach 4 × 4. Zatem:

P_c=2P_p+4P_b P_c=2 · 8√(3)+4 · 4 · 4 P_c=16√(3)+64