Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. Udowodnij, że jeżeli |AD|=|BD|, to |CD|=1/2 · |BD|.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli trójkąt ADB jest równoramienny (a tak wynika z założeń), to znaczy że kąty przy boku AB mają jednakową miarę. Skoro tak, to kąt DBC będzie miał także tą samą miarę. Dlaczego? Skoro prosta BD jest dwusieczną kąta ABC, to |∢ABD|=|∢DBC|. Całość na rysunku wyglądać będzie następująco:
Krok 2. Obliczenie miary kąta α.
Spójrzmy na trójkąt ABC. W trójkącie suma kątów jest równa 180°. Jeden z kątów tego trójkąta już znamy i jest to kąt 90°. To oznacza, że na dwa pozostałe kąty zostaje nam 180°-90°=90°. Jeżeli przyjrzymy się rysunkowi to zauważymy, że pozostałe kąty mają łączną miarę α+2α=3α. Zatem:
3α=90° α=30°
Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Dowodzenie możemy zakończyć na różne sposoby - przykładowo możemy zapisać, że trójkąt BCD jest trójkątem o kątach 30°,60°,90°, zatem z własności tego trójkąta wynika, że jeżeli przyprostokątną DC oznaczymy jako a, to przeciwprostokątna BD jest równa 2a, czyli zajdzie równość |CD|=1/2 · |BD|.
Jeszcze lepiej zakończenie dowodzenia będzie wyglądać jak skorzystamy po prostu z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa:
sin30°=|CD|/|DB| 1/2=|CD|/|DB| / · |DB| |CD|=1/2 · |BD|
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.