Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √(26). Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 25
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W trapezie równoramiennym przekątne są równej długości. Dodatkowo wiemy, że w tym konkretnym przypadku przecinają się pod kątem prostym. Skoro więc punkt przecięcia się przekątnych dzieli je w stosunku 2:3, to nasz rysunek będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:
Krok 2. Obliczenie wartości x.
Spójrzmy przykładowo na trójkąt BCS. Jest to trójkąt prostokątny, zatem możemy obliczyć wartość niewiadomej x korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.
(2x)²+(3x)²=(√(26))² 4x²+9x²=26 13x²=26 x²=2 x=√(2) x=-√(2)
Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam x=√(2).
Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Jak spojrzymy na nasz rysunek to możemy wyodrębnić w nim dwa duże trójkąty ACD oraz ABC. Suma pól tych dwóch trójkątów jest równa polu trapezu.
W jednym i drugim trójkącie mamy podstawę równą 3x+2x=5x. Skoro x=√(2), to już wiemy, że ta podstawa ma długość a=5√(2). W jednym i drugim trójkącie znamy też wysokości - w trójkącie ACD wysokość wynosi ona 2x (czyli h=2√(2)), a dla trójkąta ABC wysokość jest równa 3x (czyli h=3√(2)). W związku z tym:
P=P_(ACD)+P_(ABC) P=1/2 · 5√(2) · 2√(2)+1/2 · 5√(2) · 3√(2) P=1/2 · 10 · 2+1/2 · 15 · 2 P=10+15 P=25
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.