Środek ciężkości trójkąta na maturze - wzór na współrzędne i zadania

Czym jest środek ciężkości trójkąta

Środek ciężkości trójkąta, nazywany też centroidem, to punkt przecięcia trzech środkowych trójkąta. Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma dokładnie trzy środkowe i zawsze przecinają się one w jednym punkcie, właśnie w środku ciężkości.

To nie to samo co środek okręgu wpisanego, czyli punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta, ani środek okręgu opisanego, czyli punkt przecięcia symetralnych boków. W trójkącie różnobocznym to trzy różne punkty, które leżą w różnych miejscach. Tylko w trójkącie równobocznym wszystkie się pokrywają, a wyjaśnimy dokładnie dlaczego w dalszej części poradnika.

Nazwa "środek ciężkości" nie jest przypadkowa i pochodzi z fizyki: gdybyś wyciął trójkąt z jednorodnej płyty (na przykład z kartonu o stałej grubości) i chciał go zrównoważyć na czubku ołówka, musiałbyś podeprzeć go dokładnie w tym punkcie. To dokładnie ten sam punkt, który w geometrii wyznaczasz jako przecięcie środkowych, tylko widziany z perspektywy fizyki zamiast czystej geometrii.

Na maturze środek ciężkości pojawia się głównie w dwóch kontekstach: jako zadanie zamknięte o proporcji podziału środkowej, oraz jako zadanie z geometrii analitycznej, w którym liczysz jego współrzędne. Ten typ pytania pojawił się już w oficjalnym zestawie zadań treningowych CKE, więc warto być na niego przygotowanym.

Zobacz też ogólny przewodnik po geometrii analitycznej na maturze oraz stronę tematu Geometria analityczna z zadaniami do samodzielnego ćwiczenia.

Środkowa, wysokość, dwusieczna, symetralna - żeby się nie pogubić

Zanim przejdziemy do wzorów, warto uporządkować cztery pojęcia, które łatwo ze sobą pomylić, bo wszystkie są odcinkami związanymi z trójkątem, ale każdy prowadzi do innego punktu szczególnego:

• •środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Trzy środkowe przecinają się w środku ciężkości, czyli temu, o którym jest ten poradnik.
• •wysokość to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia). Trzy wysokości przecinają się w ortocentrum.
• •dwusieczna kąta dzieli kąt wewnętrzny trójkąta na dwie równe części. Trzy dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego.
• •symetralna boku to prosta prostopadła do boku, przechodząca przez jego środek. Trzy symetralne przecinają się w środku okręgu opisanego.

Każdy z tych czterech punktów ma swoją nazwę i swoje zastosowanie, ale na maturze najczęściej pytają właśnie o środek ciężkości, bo ma najprostszy wzór na współrzędne i najbardziej uniwersalną własność, czyli podział w stosunku $2:1$, opisaną w kolejnej części.

Właściwość numer jeden: podział środkowej w stosunku 2:1

Kluczowy fakt, który musisz zapamiętać na pamięć: środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka. To znaczy, że jeśli $M$ jest środkiem boku $BC$, a $S$ jest środkiem ciężkości leżącym na środkowej $AM$, to:

$|AS| : |SM| = 2 : 1$

Odcinek od wierzchołka do środka ciężkości jest dwa razy dłuższy niż odcinek od środka ciężkości do środka boku. Zapisując to wzorem, w którym $AM$ to cała długość środkowej:

$|AS| = \frac{2}{3}|AM|, \qquad |SM| = \frac{1}{3}|AM|$

Zadanie 1: z długości do środkowej

Punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$. Długość odcinka $SA$ jest równa $10$. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka $A$ do boku $BC$.

Krok 1. Zastosowanie proporcji 2:1.

Odcinek $SA$ to odcinek od wierzchołka do środka ciężkości, czyli dłuższa część środkowej. Z proporcji wynika, że:

$|SA| = \frac{2}{3}|AM|$

Krok 2. Obliczenie długości środkowej.

$10 = \frac{2}{3}|AM|$
$|AM| = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15$

Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka $A$ do boku $BC$ wynosi $15$.

Zobacz to zadanie w oryginale w zestawie zadań treningowych CKE.

Alternatywny zapis tego samego rozumowania: zamiast liczyć od razu $\frac{2}{3}|AM|$, niektórym łatwiej jest najpierw wyznaczyć $|SM|$. Skoro $|AS|:|SM|=2:1$, to $|SM| = \frac{1}{2}|AS| = \frac{1}{2}\cdot 10 = 5$, a cała środkowa to $|AM|=|AS|+|SM|=10+5=15$. Wynik jest identyczny, wybierz metodę, która bardziej Ci odpowiada.

Wzór na współrzędne środka ciężkości

W geometrii analitycznej to najczęstsze zastosowanie: jeśli znasz współrzędne wszystkich trzech wierzchołków trójkąta, współrzędne środka ciężkości liczysz jako średnią arytmetyczną tych współrzędnych:

$S = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \ \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right)$

To jeden z niewielu wzorów w geometrii analitycznej, który nie wymaga żadnych dodatkowych obliczeń poza dodawaniem i dzieleniem przez 3. Dla porównania zobacz też prostszy wzór na środek odcinka, który jest właściwie tym samym pomysłem, tylko dla dwóch punktów zamiast trzech.

Skąd w ogóle bierze się ten wzór? Warto to zobaczyć, bo wtedy nigdy go nie zapomnisz. Niech $M$ będzie środkiem boku $BC$. Ze wzoru na środek odcinka:

$M = \left(\frac{x_B+x_C}{2}, \ \frac{y_B+y_C}{2}\right)$

Środek ciężkości $S$ leży na środkowej $AM$ w odległości $\frac{2}{3}$ drogi od $A$ do $M$, więc jego współrzędną $x$ można zapisać jako:

$x_S = x_A + \frac{2}{3}(x_M - x_A) = \frac{1}{3}x_A + \frac{2}{3}x_M = \frac{1}{3}x_A + \frac{2}{3}\cdot\frac{x_B+x_C}{2} = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$

Dokładnie to samo wychodzi dla współrzędnej $y$. To pokazuje, że wzór na współrzędne środka ciężkości i zasada podziału środkowej w stosunku $2:1$ to w gruncie rzeczy jeden i ten sam fakt, tylko zapisany na dwa różne sposoby.

Zadanie 2: wyznacz współrzędne środka ciężkości

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(3,9)$. Wyznacz współrzędne środka ciężkości tego trójkąta.

Krok 1. Podstawienie do wzoru.

$S = \left( \frac{0+6+3}{3}, \ \frac{0+0+9}{3} \right) = \left( \frac{9}{3}, \ \frac{9}{3} \right) = (3, 3)$

Środek ciężkości tego trójkąta ma współrzędne $S=(3,3)$. Żadnych równań prostych ani układów równań, tylko dodawanie i dzielenie.

Zadanie 3: zadanie odwrotne - wyznacz brakujący wierzchołek

Punkt $S=(3,3)$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$, gdzie $A=(0,0)$ i $B=(4,2)$. Wyznacz współrzędne wierzchołka $C$.

Krok 1. Przekształcenie wzoru.

Ze wzoru na współrzędną $x$ środka ciężkości: $x_S = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$, więc:

$x_C = 3x_S - x_A - x_B$

Analogicznie dla współrzędnej $y$:

$y_C = 3y_S - y_A - y_B$

Krok 2. Podstawienie danych.

$x_C = 3\cdot 3 - 0 - 4 = 9 - 4 = 5$
$y_C = 3\cdot 3 - 0 - 2 = 9 - 2 = 7$

Wierzchołek $C$ ma współrzędne $(5, 7)$. Sprawdzenie: średnia współrzędnych $A(0,0)$, $B(4,2)$, $C(5,7)$ to $\left(\frac{0+4+5}{3}, \frac{0+2+7}{3}\right) = (3,3) = S$, więc wynik się zgadza.

Ten typ zadania lubi pojawiać się jako zadanie zamknięte, bo wymaga tylko przekształcenia jednego wzoru, ale sprawdza, czy naprawdę rozumiesz, skąd się on bierze, a nie tylko go pamiętasz.

Zadanie 4: łączymy wzór na współrzędne z proporcją 2:1

Trójkąt ma wierzchołki $A=(1,1)$, $B=(7,1)$, $C=(4,7)$. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka $C$, korzystając z dwóch różnych metod, i sprawdź, czy dają ten sam wynik.

Metoda 1: przez współrzędne środka ciężkości.

$S = \left(\frac{1+7+4}{3}, \ \frac{1+1+7}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \ \frac{9}{3}\right) = (4, 3)$

Odległość $CS$ liczymy ze wzoru na odległość dwóch punktów:

$|CS| = \sqrt{(4-4)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{0+16} = 4$

Metoda 2: przez proporcję 2:1 na środkowej.

Najpierw wyznaczamy $M$, czyli środek boku $AB$:

$M = \left(\frac{1+7}{2}, \ \frac{1+1}{2}\right) = (4, 1)$

Długość całej środkowej $CM$:

$|CM| = \sqrt{(4-4)^2+(1-7)^2} = \sqrt{0+36} = 6$

Odcinek od wierzchołka $C$ do środka ciężkości to $\frac{2}{3}$ długości środkowej:

$|CS| = \frac{2}{3}\cdot 6 = 4$

Obie metody dają dokładnie ten sam wynik: $|CS|=4$. To dobry sposób na sprawdzenie się na maturze, jeśli masz chwilę czasu nadmiarowego: policz zadanie dwiema drogami i porównaj wyniki.

Odległość środka ciężkości od boku trójkąta

Ten wzór jest mniej znany, ale czasem się przydaje: odległość środka ciężkości od dowolnego boku to zawsze jedna trzecia wysokości opuszczonej z wierzchołka leżącego naprzeciwko tego boku.

$d(S, BC) = \frac{1}{3}h_A$

Dlaczego tak jest? Środek ciężkości leży na środkowej $AM$, w odległości $\frac{2}{3}$ drogi od $A$ do $M$. Odległość punktu poruszającego się po odcinku $AM$ od prostej $BC$ maleje liniowo, od pełnej wysokości $h_A$ przy wierzchołku $A$ do zera przy punkcie $M$, bo $M$ leży dokładnie na boku $BC$. W punkcie odległym o $\frac{2}{3}$ drogi od $A$ zostaje więc dokładnie jedna trzecia wysokości.

Zadanie 5: odległość środka ciężkości w trójkącie równobocznym

Bok trójkąta równobocznego ma długość $8$ cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od jego boków.

Krok 1. Wysokość trójkąta równobocznego.

Dla boku $a=8$:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$

Krok 2. Odległość środka ciężkości od boku.

$d = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$

Ze względu na symetrię trójkąta równobocznego każda z trzech wysokości ma tę samą długość, więc odległość od środka ciężkości jest jednakowa od wszystkich trzech boków.

Zobacz to zadanie na stronie matura próbna Operon, listopad 2019, zadanie 20. Powiązane wzory znajdziesz też w poradnikach promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie oraz zależności w trójkątach 30-60-90 i 45-45-90.

Kiedy środek ciężkości pokrywa się z innymi punktami szczególnymi

W trójkącie równobocznym, i tylko w nim, środek ciężkości, środek okręgu wpisanego, środek okręgu opisanego i ortocentrum, czyli punkt przecięcia wysokości trójkąta, to jeden i ten sam punkt. Wynika to z symetrii: w trójkącie równobocznym każda środkowa jest jednocześnie wysokością, dwusieczną kąta i symetralną boku, więc wszystkie te konstrukcje prowadzą do tego samego miejsca.

To właśnie dlatego w Zadaniu 5 odległość środka ciężkości od boku wyszła identyczna jak promień okręgu wpisanego. Dla boku $a=8$ promień okręgu wpisanego wynosi $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$, czyli dokładnie tyle, co policzyliśmy jako odległość środka ciężkości od boku.

W trójkącie, który nie jest równoboczny, te punkty rozjeżdżają się i leżą w różnych miejscach płaszczyzny. Środek ciężkości, ortocentrum i środek okręgu opisanego zawsze leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera, ale to zagadnienie wykracza już poza program matury z matematyki.

Warto też wiedzieć, że sam pomysł na środek ciężkości uogólnia się na inne figury. Dla czworokąta wypukłego środek ciężkości jego wierzchołków liczy się analogicznie, jako średnią arytmetyczną współrzędnych, tylko dzieloną przez liczbę wierzchołków zamiast przez 3. Zasada jest zawsze ta sama: dodajesz współrzędne wszystkich punktów i dzielisz przez ich liczbę.

Najczęstsze błędy przy środku ciężkości

Odwracanie proporcji 2:1. Część uczniów myśli, że krótszy odcinek środkowej jest przy wierzchołku, a nie przy boku. Zawsze zapamiętaj: dłuższy kawałek jest bliżej wierzchołka.

Mylenie środka ciężkości ze środkiem okręgu opisanego lub wpisanego. W trójkącie różnobocznym to zupełnie różne punkty, a wzór na współrzędne działa tylko dla środka ciężkości, nie dla pozostałych punktów szczególnych.

Błąd przy przekształcaniu wzoru. W zadaniu odwrotnym, tak jak w Zadaniu 3, łatwo pomylić znaki podczas przenoszenia $x_A$ i $x_B$ na drugą stronę równania. Zawsze warto sprawdzić wynik, podstawiając go z powrotem do wzoru na średnią.

Zapominanie, że wzór na współrzędne dotyczy tylko środka ciężkości. Dla środka okręgu opisanego czy wpisanego nie ma tak prostego wzoru opartego na samej średniej arytmetycznej współrzędnych wierzchołków, więc próba zastosowania tego samego skrótu do innego punktu szczególnego trójkąta prawie zawsze kończy się błędnym wynikiem.

Pomijanie sprawdzenia w zadaniach odwrotnych. W zadaniach typu z Zadania 3, gdzie wyznaczasz brakujący wierzchołek, warto zawsze podstawić wynik z powrotem do wzoru na środek ciężkości i sprawdzić, czy rzeczywiście wychodzi zadany punkt $S$. To zajmuje kilkanaście sekund, a chroni przed utratą punktów za drobny błąd rachunkowy.

Checklist - co musisz umieć

Więcej zadań z geometrii analitycznej znajdziesz w bazie zadania CKE z geometrii analitycznej albo w pełnym przewodniku po geometrii analitycznej.

Następny krok Losuj kolejne zadanie