W układzie współrzędnych na płaszczyźnie rysujemy łamane. Kolejne wierzchołki każdej z tych łamanych to punkty: A₁=(0,0), A₂=(1,0), A₃=(1,-1), A₄=(-1,-1), A₅=(-1,1), A₆=(2,1) i tak dalej. Na rysunku jest przedstawiona łamana składająca się z dziesięciu odcinków, której ostatnim wierzchołkiem jest punkt A₁₁=(3,-3). Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n ≥ 1 długość łamanej złożonej z 2n odcinków, czyli takiej, której początkowym wierzchołkiem jest punkt A₁, a końcowym A_(2n+1). Wyznacz wzór funkcji f oraz oblicz jej wartość dla n=33.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: f(n)=n(n+1)f(33)=1122
## Krok 1: Analiza układu punktów
Zapiszmy kolejne punkty i przeanalizujmy wzór ich położenia: - A₁ = (0, 0) - A₂ = (1, 0) - A₃ = (1, -1) - A₄ = (-1, -1) - A₅ = (-1, 1) - A₆ = (2, 1) - ... - A₁₁ = (3, -3)
## Krok 2: Identyfikacja wzoru współrzędnych
Obserwujemy, że punkty o nieparzystych indeksach tworzą wzór: - A₁ = (0, 0) - A₃ = (1, -1) - A₅ = (-1, 1) - A₇ = (2, -2) (kontynuując wzór) - A₉ = (-2, 2) - A₁₁ = (3, -3)
Dla A_(2k+1) gdzie k ≥ 0: - Jeśli k parzyste: A_(2k+1) = (k/2, -k/2) - Jeśli k nieparzyste: A_(2k+1) = (-(k+1)/2, (k+1)/2)
## Krok 3: Obliczenie długości odcinków
Łamana z 2n odcinków kończy się w A_(2n+1).
Obliczmy długości kolejnych par odcinków:
Para 1 (A₁ → A₂ → A₃): |A₁A₂| = √((1-0)² + (0-0)²) = 1 |A₂A₃| = √((1-1)² + (-1-0)²) = 1 Suma: 1 + 1 = 2
Para 2 (A₃ → A₄ → A₅): |A₃A₄| = √((-1-1)² + (-1-(-1))²) = 2 |A₄A₅| = √((-1-(-1))² + (1-(-1))²) = 2 Suma: 2 + 2 = 4
Para 3 (A₅ → A₆ → A₇): |A₅A₆| = √((2-(-1))² + (1-1)²) = 3 |A₆A₇| = √((2-2)² + (-2-1)²) = 3 Suma: 3 + 3 = 6
## Krok 4: Wzór na długość
Obserwujemy, że para numer k (dla k = 1, 2, 3, ..., n) ma łączną długość 2k.
Długość łamanej z 2n odcinków: f(n) = _(k=1)^n 2k = 2_(k=1)^n k = 2 · n(n+1)/2 = n(n+1)
## Krok 5: Weryfikacja
Dla n = 1: f(1) = 1 · 2 = 2 ✓ (odcinki A₁A₂ i A₂A₃)
Dla n = 5: f(5) = 5 · 6 = 30 (łamana do A₁₁) Sprawdzenie: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 ✓
## Krok 6: Obliczenie f(33)
f(33) = 33 · 34 = 1122
Odpowiedź: f(n) = n(n+1) f(33) = 1122
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.