Geometria analityczna

Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych - matura rozszerzona: wierzchołek na symetralnej podstawy, pole i prosta z ramieniem

Q: Jak wyznaczyć współrzędne wierzchołka C trójkąta równoramiennego?

Napisz równanie symetralnej podstawy AB (prosta przez środek S, prostopadła do AB) i dołóż drugi warunek z treści. Jeśli ramię leży na danej prostej, C to punkt przecięcia symetralnej z tą prostą. Jeśli dane jest pole, policz wysokość h = 2P/|AB| i znajdź na symetralnej punkt oddalony od S o h; wyjdą dwa punkty, po jednym z każdej strony podstawy.

Q: Dlaczego w zadaniu o trójkącie równoramiennym wychodzą dwa rozwiązania?

Bo warunek |AC| = |BC| razem z polem albo z odległością prowadzi do równania kwadratowego, a wierzchołek C może leżeć po obu stronach podstawy (albo po obu stronach rzutu A na prostą ramienia). W maju 2010 były dwa punkty C, w maju 2022 cztery pary B i C. Rozwiązanie odrzucasz tylko wtedy, gdy przeczy warunkowi z treści, na przykład o znaku współrzędnych.

Q: Co zrobić, gdy dany jest wierzchołek A i prosta zawierająca ramię BC, a nie podstawa?

Policz odległość A od tej prostej: to wysokość opuszczona na ramię BC. Z pola wyznacz |BC|, a ponieważ |AC| = |BC|, szukaj na prostej punktu C oddalonego od A o tę długość. Zapisz C jednym parametrem (na przykład C = (c, c + 1)) i rozwiąż równanie kwadratowe. Potem B leży na tej samej prostej w odległości |BC| od C.

Q: Ile punktów można dostać za takie zadanie na maturze rozszerzonej?

W arkuszach CKE zadania tego typu były warte 5 punktów (czerwiec 2016, zadanie 16; maj 2026, zadanie 9) albo 6 punktów (maj 2010, zadanie 7; maj 2018, zadanie 14; maj 2022, zadanie 14). Zapisuj więc każdy etap osobno: symetralną albo wysokość z pola, równanie kwadratowe i sprawdzenie obu rozwiązań z warunkami z treści.

Q: Czy zamiast symetralnej można użyć równania |AC| = |BC| wprost?

Tak. Zapisujesz C = (x, y), podnosisz obie odległości do kwadratu i porównujesz; kwadraty x² i y² się skracają i zostaje równanie liniowe, czyli dokładnie równanie symetralnej. Ta droga omija współczynnik kierunkowy, więc przydaje się, gdy podstawa jest pionowa albo gdy wolisz unikać ułamków w nachyleniu.

Wierzchołek C trójkąta równoramiennego leży na symetralnej podstawy AB, a odległość punktu od prostej daje wysokość i pole. Jeden schemat na zadania za 5-6 punktów z matury rozszerzonej: symetralna, drugi warunek z treści, dwa trójkąty w odpowiedzi. Pięć zadań CKE krok po kroku.

20 września 2026·12 min czytania

W trójkącie równoramiennym $ABC$ , w którym $|AC| = |BC|$ , wierzchołek $C$ leży na symetralnej podstawy $AB$ , bo jest jednakowo oddalony od obu jej końców. Dlatego zadanie z matury rozszerzonej rozwiązujesz jednym schematem: liczysz środek podstawy i równanie symetralnej, a potem szukasz na niej punktu $C$ , który spełnia drugi warunek z treści (leży na danej prostej, daje zadane pole albo pasuje do okręgu). Gdy zamiast całej podstawy masz tylko wierzchołek $A$ , prostą zawierającą ramię $BC$ i pole, wysokością jest odległość punktu $A$ od tej prostej, z pola wyznaczasz długość ramienia, a warunek $|AC| = |BC|$ daje równanie kwadratowe z dwoma położeniami $C$ .

To jeden z droższych typów zadań w arkuszu rozszerzonym. W arkuszu z maja 2022 zadanie 14 o trójkącie równoramiennym z polem $15$ było warte $6$ punktów, tyle samo co zadanie 7 z maja 2010 z niemal identyczną treścią i zadanie 14 z maja 2018 z okręgiem wpisanym. W czerwcu 2016 (zadanie 16) i w maju 2026 (zadanie 9) ten sam pomysł kosztował $5$ punktów. Pięć zadań, jedna własność geometryczna i kilka wzorów, które znasz z podstawy. Niżej masz schemat, komplet wzorów i wszystkie pięć zadań rozwiązanych do końca, razem z drugim trójkątem, o którym łatwo zapomnieć.

Dlaczego wierzchołek C leży na symetralnej podstawy

Symetralna odcinka to zbiór punktów równo oddalonych od jego końców. Skoro $|AC| = |BC|$ , to $C$ jest równo oddalony od $A$ i od $B$ , więc leży na symetralnej odcinka $AB$ . Ta jedna obserwacja zamienia warunek „trójkąt równoramienny" na równanie prostej, a szukanie $C$ na przecięcie tej prostej z drugim warunkiem z treści.

Z tej samej własności wynika reszta: wysokość poprowadzona z $C$ na podstawę $AB$ leży na symetralnej, więc jest jednocześnie środkową (trafia w środek $S$ podstawy), dwusieczną kąta $ACB$ i osią symetrii trójkąta. Na osi symetrii leżą też środek okręgu opisanego i środek okręgu wpisanego, co wykorzystuje zadanie z maja 2018. Własności bez współrzędnych (kąty przy podstawie, wysokość z Pitagorasa) masz zebrane we wpisie o trójkącie równoramiennym w planimetrii; tutaj zajmujemy się wyłącznie wersją z układem współrzędnych.

Schemat rozwiązania w czterech krokach

Schemat jest ten sam niezależnie od tego, czy szukasz $C$ , $B$ , pola czy równania okręgu: zapisz symetralną podstawy, dołóż drugi warunek z treści, rozwiąż układ i sprawdź każde rozwiązanie z resztą treści. Różnią się tylko dane wejściowe.

1.Środek i kierunek podstawy. Ze współrzędnych $A$ i $B$ policz środek odcinka $S$ oraz współczynnik kierunkowy $a_{AB}$ .
2.Równanie symetralnej. Prosta przez $S$ prostopadła do $AB$ ma współczynnik $-\frac{1}{a_{AB}}$ (szczegóły warunku prostopadłości są osobno). Jeśli podstawa jest pozioma, symetralna to $x = x_S$ ; jeśli pionowa, $y = y_S$ .
3.Punkt C z drugiego warunku. Gdy ramię leży na danej prostej, $C$ to punkt przecięcia symetralnej z tą prostą. Gdy dane jest pole, z $P = \frac{1}{2}|AB| \cdot h$ liczysz wysokość $h$ i szukasz na symetralnej punktu oddalonego od $S$ o $h$ . Gdy dany jest okrąg wpisany lub opisany, jego środek leży na symetralnej.
4.Sprawdzenie obu rozwiązań. Równanie kwadratowe z kroku 3 daje zwykle dwa punkty $C$ , po jednym z każdej strony podstawy. Odrzucasz tylko ten, który przeczy treści (na przykład „obie współrzędne ujemne"). Jeśli treść nic nie mówi, odpowiedzią są oba trójkąty.

Trzy warianty zadania i czego szukasz w każdym

Arkusze rozszerzone podają dane na trzy sposoby, a wariant rozpoznajesz po tym, co dostajesz na wejściu: całą podstawę, sam wierzchołek podstawy z prostą ramienia albo wierzchołek podstawy z okręgiem. Pierwszy wariant prowadzi wprost przez symetralną, dwa pozostałe wymagają najpierw odzyskania brakującego elementu.

Wariant 1: dana podstawa $AB$ i coś o ramieniu. Czerwiec 2016 (zadanie 16) podaje prostą z wysokością opuszczoną z $A$ , czyli prostą prostopadłą do $BC$ ; maj 2026 (zadanie 9) podaje prostą zawierającą ramię. W obu $C$ to przecięcie symetralnej $AB$ z prostą $BC$ .

Wariant 2: dany wierzchołek $A$ , prosta zawierająca ramię $BC$ i pole. Maj 2010 (zadanie 7) i maj 2022 (zadanie 14). Podstawy nie znasz, więc symetralnej nie napiszesz. Zamiast tego: odległość $A$ od prostej $BC$ to wysokość opuszczona na ramię, z pola dostajesz $|BC|$ , a skoro $|AC| = |BC|$ , to $C$ leży na prostej $BC$ w znanej odległości od $A$ . Wychodzą dwa punkty $C$ , a dla każdego dwa punkty $B$ .

Wariant 3: dany wierzchołek $A$ i okrąg wpisany. Maj 2018 (zadanie 14). Boki $AB$ i $AC$ leżą na stycznych do okręgu poprowadzonych z $A$ , a środek okręgu leży na osi symetrii, czyli na symetralnej podstawy. Musisz rozstrzygnąć, która styczna jest podstawą, i robi to za ciebie warunek z treści.

Wzory

Środek odcinka AB:

S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

Współczynnik kierunkowy prostej AB:

a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, \quad x_A \ne x_B

Warunek prostopadłości prostych:

a_1 \cdot a_2 = -1

Równanie symetralnej odcinka AB:

y - y_S = -\frac{1}{a_{AB}}(x - x_S)

Odległość punktu od prostej:

d(P, l) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \quad l: Ax + By + C = 0

Pole trójkąta z podstawy i wysokości:

P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h

Długość odcinka AB:

|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Środek odcinka, warunek prostopadłości, odległość punktu od prostej i długość odcinka masz w tablicach; równanie symetralnej składasz z nich sam. Wyprowadzenie tego równania i drugą metodę (z równości $|PA| = |PB|$ ) opisuje wpis o symetralnej odcinka, a wzór na odległość z przykładami wpis o odległości punktu od prostej. Tutaj używamy ich bez ponownego wyprowadzania.

Przykład 1: Wierzchołek C z symetralnej i prostej ramienia

0/5

Matura rozszerzona czerwiec 2016Zadanie 16Geometria analityczna

Treść: Punkty $A = (-7, -2)$ i $B = (4, -7)$ są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego $ABC$ , a wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2x + 19y + 52 = 0$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Środek i współczynnik kierunkowy podstawy
$S = \left(\frac{-7 + 4}{2}, \frac{-2 - 7}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{2}\right), \qquad a_{AB} = \frac{-7 - (-2)}{4 - (-7)} = -\frac{5}{11}$
Krok 2
Równanie symetralnej podstawy
Prosta prostopadła do $AB$ ma współczynnik $\frac{11}{5}$ i przechodzi przez $S$ :
$y + \frac{9}{2} = \frac{11}{5}\left(x + \frac{3}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{11}{5}x - \frac{6}{5}$
Krok 3
Prosta zawierająca ramię BC
Wysokość z $A$ jest prostopadła do $BC$ (i faktycznie przechodzi przez $A$ : $2 \cdot (-7) + 19 \cdot (-2) + 52 = 0$ ). Prosta $2x + 19y + 52 = 0$ ma współczynnik kierunkowy $-\frac{2}{19}$ , więc $BC$ ma współczynnik $\frac{19}{2}$ i przechodzi przez $B = (4, -7)$ :
$y + 7 = \frac{19}{2}(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{19}{2}x - 45$
Krok 4
Punkt przecięcia symetralnej z prostą BC
Mnożysz równanie stronami przez $10$ , żeby pozbyć się ułamków:
$\frac{11}{5}x - \frac{6}{5} = \frac{19}{2}x - 45 \quad \Rightarrow \quad 22x - 12 = 95x - 450 \quad \Rightarrow \quad 73x = 438 \quad \Rightarrow \quad x = 6$
Stąd $y = \frac{19}{2} \cdot 6 - 45 = 12$ .
Krok 5
Sprawdzenie
$|AC|^2 = 13^2 + 14^2 = 365$ oraz $|BC|^2 = 2^2 + 19^2 = 365$ , więc ramiona są równe. Równanie z kroku 4 jest liniowe, więc rozwiązanie jest jedno: przecięcie dwóch prostych.

Odpowiedź

$C = (6, 12)$ .

Przykład 2: Ramię na danej prostej i okrąg o środku na ramieniu

0/5

Matura rozszerzona maj 2026Zadanie 9Geometria analityczna

Treść: W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (1, -1)$ oraz $B = (4, 0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$ , w którym $|CA| = |CB|$ . Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x + 2y - 4 = 0$ . Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$ , że $|AM| : |MC| = 1 : 4$ . Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Które ramię leży na prostej
Podstawiasz oba końce podstawy: dla $A$ jest $1 - 2 - 4 = -5 \ne 0$ , dla $B$ jest $4 + 0 - 4 = 0$ . Na prostej leży $B$ , więc to ramię $BC$ .
Krok 2
Symetralna podstawy AB
$S = \left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}\right), \qquad a_{AB} = \frac{0 - (-1)}{4 - 1} = \frac{1}{3}$
Symetralna ma współczynnik $-3$ :
$y + \frac{1}{2} = -3\left(x - \frac{5}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad y = -3x + 7$
Krok 3
Wierzchołek C
Podstawiasz $y = -3x + 7$ do równania prostej $BC$ :
$x + 2(-3x + 7) - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad -5x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \quad y = 1$
Zatem $C = (2, 1)$ . Kontrola: $|CA|^2 = 1 + 4 = 5$ i $|CB|^2 = 4 + 1 = 5$ .
Krok 4
Punkt M i promień
$M$ dzieli $AC$ w stosunku $1 : 4$ , więc leży w jednej piątej drogi od $A$ do $C$ :
$M = \left(1 + \frac{1}{5}(2 - 1), \ -1 + \frac{1}{5}(1 - (-1))\right) = \left(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5}\right)$
Promień to $|MC| = \frac{4}{5}|AC| = \frac{4}{5}\sqrt{5}$ , czyli $r^2 = \frac{16}{25} \cdot 5 = \frac{16}{5}$ .

Odpowiedź

$\left(x - \frac{6}{5}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{5}$ .

Przykład 3: Wierzchołek A, prosta z ramieniem BC i pole 15

0/5

Matura rozszerzona maj 2010Zadanie 7Geometria analityczna

Treść: Punkt $A = (-2, 5)$ jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego $ABC$ , w którym $|AC| = |BC|$ . Pole tego trójkąta jest równe $15$ . Bok $BC$ jest zawarty w prostej o równaniu $y = x + 1$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Wysokość opuszczona z A na ramię BC
Podstawy nie znasz, więc pole rozpisujesz względem ramienia $BC$ . Wysokość na ten bok to odległość $A$ od prostej $x - y + 1 = 0$ :
$h = \frac{|-2 - 5 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$
Krok 2
Długość ramienia z pola
$15 = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot 3\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad |BC| = \frac{30}{3\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$
Skoro $|AC| = |BC|$ , to również $|AC| = 5\sqrt{2}$ , czyli $|AC|^2 = 50$ .
Krok 3
Punkt C na prostej w zadanej odległości od A
Punkt prostej $y = x + 1$ ma postać $C = (c, c + 1)$ :
$(c + 2)^2 + (c + 1 - 5)^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad (c + 2)^2 + (c - 4)^2 = 50$ $2c^2 - 4c + 20 = 50 \quad \Rightarrow \quad c^2 - 2c - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad (c - 5)(c + 3) = 0$
Krok 4
Dwa położenia wierzchołka
Dla $c = 5$ jest $C = (5, 6)$ , dla $c = -3$ jest $C = (-3, -2)$ . Kontrola drugiego: $|AC|^2 = (-3 + 2)^2 + (-2 - 5)^2 = 1 + 49 = 50$ . Treść nie wyklucza żadnego z nich, więc odpowiedzią są oba punkty.

Odpowiedź

$C = (5, 6)$ lub $C = (-3, -2)$ .

Przykład 4: Ten sam schemat i cztery pary wierzchołków B, C

0/5

Matura rozszerzona maj 2022Zadanie 14Geometria analityczna

Treść: Punkt $A = (-3, 2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$ , w którym $|AC| = |BC|$ . Pole tego trójkąta jest równe $15$ . Bok $BC$ zawarty jest w prostej o równaniu $y = x - 1$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Wysokość i długość ramienia
Prosta $BC$ w postaci ogólnej to $x - y - 1 = 0$ , więc
$h = \frac{|-3 - 2 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}, \qquad |BC| = \frac{2 \cdot 15}{3\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$
Te same liczby co w zadaniu z 2010 roku: zmienił się tylko punkt $A$ i wyraz wolny prostej.
Krok 2
Wierzchołek C
$C = (c, c - 1)$ i $|AC|^2 = 50$ :
$(c + 3)^2 + (c - 3)^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad 2c^2 + 18 = 50 \quad \Rightarrow \quad c^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad c = 4 \ \text{lub} \ c = -4$
Czyli $C = (4, 3)$ albo $C = (-4, -5)$ .
Krok 3
Wierzchołek B na tej samej prostej
$B = (b, b - 1)$ leży na prostej $BC$ w odległości $5\sqrt{2}$ od $C$ :
$(b - c)^2 + (b - c)^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad (b - c)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad b = c + 5 \ \text{lub} \ b = c - 5$
Dla $C = (4, 3)$ : $B = (9, 8)$ lub $B = (-1, -2)$ . Dla $C = (-4, -5)$ : $B = (1, 0)$ lub $B = (-9, -10)$ .
Krok 4
Sprawdzenie pola
Dla $C = (4, 3)$ i $B = (-1, -2)$ : $|BC| = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}$ , wysokość na $BC$ to nadal $3\sqrt{2}$ , więc $P = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 15$ . Każda z czterech par daje ten sam wynik, bo $B$ zawsze leży na tej samej prostej w tej samej odległości od $C$ .

Odpowiedź

Cztery trójkąty: $C = (4, 3)$ z $B = (9, 8)$ lub $B = (-1, -2)$ , oraz $C = (-4, -5)$ z $B = (1, 0)$ lub $B = (-9, -10)$ .

Przykład 5: Okrąg wpisany i wierzchołek o ujemnych współrzędnych

0/5

Matura rozszerzona maj 2018Zadanie 14Geometria analityczna

Treść: Punkt $A = (7, -1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$ , w którym $|AC| = |BC|$ . Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ ma równanie $x^2 + y^2 = 10$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Styczne z punktu A
Boki $AB$ i $AC$ leżą na stycznych do okręgu o środku $O = (0, 0)$ i promieniu $\sqrt{10}$ , przechodzących przez $A$ . Prosta $y + 1 = m(x - 7)$ , czyli $mx - y - 7m - 1 = 0$ , jest styczna, gdy jej odległość od $O$ równa się promieniowi:
$\frac{|-7m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10} \quad \Rightarrow \quad (7m + 1)^2 = 10(m^2 + 1) \quad \Rightarrow \quad 39m^2 + 14m - 9 = 0$ $\Delta = 196 + 1404 = 1600, \quad m_1 = \frac{-14 + 40}{78} = \frac{1}{3}, \quad m_2 = \frac{-14 - 40}{78} = -\frac{9}{13}$
Styczne: $y = \frac{1}{3}x - \frac{10}{3}$ , czyli $x - 3y - 10 = 0$ , oraz $y = -\frac{9}{13}x + \frac{50}{13}$ , czyli $9x + 13y - 50 = 0$ .
Krok 2
Środek okręgu wpisanego leży na osi symetrii
Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznej kąta $ACB$ , a w trójkącie równoramiennym ta dwusieczna to oś symetrii, czyli symetralna podstawy $AB$ . Zatem prosta $OC$ jest prostopadła do $AB$ i przechodzi przez $O = (0, 0)$ . Nie wiesz jeszcze, która styczna zawiera podstawę, więc rozpatrujesz oba przypadki.
Krok 3
Przypadek pierwszy, podstawa na prostej x - 3y - 10 = 0
Oś symetrii jest do niej prostopadła i przechodzi przez $O$ : $y = -3x$ . Wierzchołek $C$ to jej przecięcie z drugą styczną $9x + 13y - 50 = 0$ :
$9x - 39x - 50 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{3}, \quad y = 5$
Współrzędna $y = 5$ jest dodatnia, więc ten przypadek odpada.
Krok 4
Przypadek drugi, podstawa na prostej 9x + 13y - 50 = 0
Oś symetrii: $y = \frac{13}{9}x$ . Przecięcie ze styczną $x - 3y - 10 = 0$ :
$x - \frac{13}{3}x - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{10}{3}x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = -3, \quad y = -\frac{13}{3}$
Obie współrzędne są ujemne, więc $C = \left(-3, -\frac{13}{3}\right)$ .
Krok 5
Wierzchołek B jako odbicie A względem osi
Środek podstawy $S$ to przecięcie osi $y = \frac{13}{9}x$ z prostą $AB$ :
$9x + 13 \cdot \frac{13}{9}x - 50 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{250}{9}x = 50 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{5}, \quad y = \frac{13}{5}$
$S$ jest środkiem $AB$ , więc $B = 2S - A = \left(\frac{18}{5} - 7, \frac{26}{5} + 1\right) = \left(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5}\right)$ .
Krok 6
Kontrola ramion
$|AC|^2 = 10^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{1000}{9}$ oraz $|BC|^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{158}{15}\right)^2 = \frac{36}{225} + \frac{24964}{225} = \frac{25000}{225} = \frac{1000}{9}$ . Ramiona równe, warunek o znakach spełniony.

Odpowiedź

$B = \left(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5}\right)$ , $C = \left(-3, -\frac{13}{3}\right)$ .

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Wyprowadzić równanie symetralnej odcinka ze środka i współczynnika prostej prostopadłej.
Zapisać prostą w postaci ogólnej i policzyć odległość punktu od prostej.
Z pola i wysokości wyznaczyć długość boku, a z warunku równych ramion ułożyć równanie kwadratowe.
Znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych, także z ułamkowymi współczynnikami.
Wyznaczyć równania stycznych do okręgu przechodzących przez dany punkt.
Wskazać, że środek okręgu wpisanego i opisanego leży na osi symetrii trójkąta równoramiennego.
Znaleźć drugi wierzchołek podstawy jako odbicie pierwszego względem osi symetrii.
Sprawdzić oba rozwiązania z warunkami z treści i odrzucić tylko te sprzeczne.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania poniżej używają tych samych narzędzi w innych figurach: środek okręgu przechodzącego przez dwa punkty leży na symetralnej ich odcinka (maj 2017), oś symetrii trapezu równoramiennego działa jak symetralna obu podstaw (czerwiec 2011), a w rombie odległość wierzchołka od przekątnej to połowa drugiej przekątnej (czerwiec 2019). Każde otwiera się na własnej stronie. Treści zadań są za darmo, a rozwiązania krok po kroku do zadań rozszerzonych odblokowuje pakiet Premium+. Wszystkie zadania działu znajdziesz na stronie Geometria analityczna, a mapę tematów rozszerzenia w hubie matury rozszerzonej i we wpisie o wymaganiach na maturze rozszerzonej 2027.

Więcej zadań z działu Geometria analityczna

Następny krok Losuj kolejne zadanie z geometrii analitycznej

Najczęstsze pytania o trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych

Jak wyznaczyć współrzędne wierzchołka C trójkąta równoramiennego?

Napisz równanie symetralnej podstawy $AB$ (prosta przez środek $S$ , prostopadła do $AB$ ) i dołóż drugi warunek z treści. Jeśli ramię leży na danej prostej, $C$ to punkt przecięcia symetralnej z tą prostą. Jeśli dane jest pole, policz wysokość $h = \frac{2P}{|AB|}$ i znajdź na symetralnej punkt oddalony od $S$ o $h$ ; wyjdą dwa punkty, po jednym z każdej strony podstawy.

Dlaczego w zadaniu o trójkącie równoramiennym wychodzą dwa rozwiązania?

Bo warunek $|AC| = |BC|$ razem z polem albo z odległością prowadzi do równania kwadratowego, a wierzchołek $C$ może leżeć po obu stronach podstawy (albo po obu stronach rzutu $A$ na prostą ramienia). W maju 2010 były dwa punkty $C$ , w maju 2022 cztery pary $B$ i $C$ . Rozwiązanie odrzucasz tylko wtedy, gdy przeczy warunkowi z treści, na przykład o znaku współrzędnych.

Co zrobić, gdy dany jest wierzchołek A i prosta zawierająca ramię BC, a nie podstawa?

Policz odległość $A$ od tej prostej: to wysokość opuszczona na ramię $BC$ . Z pola wyznacz $|BC|$ , a ponieważ $|AC| = |BC|$ , szukaj na prostej punktu $C$ oddalonego od $A$ o tę długość. Zapisz $C$ jednym parametrem (na przykład $C = (c, c + 1)$ ) i rozwiąż równanie kwadratowe. Potem $B$ leży na tej samej prostej w odległości $|BC|$ od $C$ .

Czy środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny leży na symetralnej podstawy?

Tak. Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznej kąta między ramionami, a w trójkącie równoramiennym ta dwusieczna pokrywa się z wysokością, środkową i symetralną podstawy. To samo dotyczy środka okręgu opisanego, który jako punkt równo oddalony od $A$ i $B$ zawsze leży na symetralnej $AB$ . W zadaniu z maja 2018 ta własność daje prostą $OC$ prostopadłą do podstawy.

Jak sprawdzić, które z dwóch rozwiązań jest poprawne?

Podstaw każde do wszystkich warunków z treści: równość ramion, pole, przynależność do prostej i warunki słowne (znak współrzędnych, położenie w ćwiartce). Jeśli oba przechodzą, oba są odpowiedzią i oba zapisujesz. Odrzucenie poprawnego rozwiązania bez uzasadnienia kosztuje tyle samo co jego zgubienie.

Ile punktów można dostać za takie zadanie na maturze rozszerzonej?

W arkuszach CKE zadania tego typu były warte $5$ punktów (czerwiec 2016, zadanie 16; maj 2026, zadanie 9) albo $6$ punktów (maj 2010, zadanie 7; maj 2018, zadanie 14; maj 2022, zadanie 14). Zapisuj więc każdy etap osobno: symetralną albo wysokość z pola, równanie kwadratowe i sprawdzenie obu rozwiązań z warunkami z treści.

Czy zamiast symetralnej można użyć równania |AC| = |BC| wprost?

Tak. Zapisujesz $C = (x, y)$ , podnosisz obie odległości do kwadratu i porównujesz; kwadraty $x^2$ i $y^2$ się skracają i zostaje równanie liniowe, czyli dokładnie równanie symetralnej. Ta droga omija współczynnik kierunkowy, więc przydaje się, gdy podstawa jest pionowa albo gdy wolisz unikać ułamków w nachyleniu.

Kategoria: Geometria analityczna

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Równoległobok w układzie współrzędnych na maturze - środek symetrii, czwarty wierzchołek i pole

Czwarty wierzchołek równoległoboku to D = A + C - B, a wierzchołek naprzeciwko danego to C = 2S - A, bo przekątne dzielą się na połowy w środku symetrii S. Pole liczysz z podstawy i wysokości albo jako podwojone pole trójkąta. Wzory, pułapki i 6 zadań z arkuszy CKE krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Punkt przecięcia dwóch prostych - jak obliczyć krok po kroku

Punkt przecięcia dwóch prostych to rozwiązanie układu ich równań. Zobacz metodę krok po kroku dla postaci kierunkowej i ogólnej oraz 5 rozwiązanych zadań maturalnych, w tym zadanie z parametrem i pole trójkąta ograniczonego prostymi.

Rozwiązanie zadania

Symetralna odcinka - równanie, wzór i zadania maturalne krok po kroku

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek. Poznaj wzór, dwie metody wyznaczania równania symetralnej i komplet rozwiązanych zadań maturalnych z geometrii analitycznej.