W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o równaniu O:(x+1)²+(y-2)²=9 Okrąg K jest obrazem okręgu O w symetrii osiowej względem osi O y układu współrzędnych. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg K jest określony równaniem
Odpowiedzi do wyboru
- A.(x+1)²+(y+2)²=9
- B.(x+1)²+(y-2)²=9
- C.(x-1)²+(y+2)²=9
- D.(x-1)²+(y-2)²=9
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-czerwiec-2025-29.png]
Krok 2. Odczytanie współrzędnych środka okręgu O.
Okrąg o środku w punkcie S=x_S, y_S i promieniu r możemy opisać równaniem:
(x-x_S)²+(y-y_S)²=r²
W takim razie możemy z treści zadania odczytać współrzędne środka okręgu O:
(x+1)²+(y-2)²=9 (x-(-1))²+(y-2)²=9
Widzimy wyraźnie, że środkiem będzie punkt S=(-1,2).
Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Krok 4. Ustalenie współrzędnych środka okręgu K.
Skoro okrąg K powstał w wyniku przekształcenia okręgu O względem osi Oy (czyli jest tak jakby odbiciem lustrzanym względem osi Oy), to znaczy że współrzędna x środka tego okręgu musi mieć zmieniony znak na przeciwny, a współrzędna y będzie niezmieniona. To prowadzi nas do wniosku, że w okręgu K środkiem będzie punkt o współrzędnych:
S_K=(1,2)
Krok 4. Zapisanie równania okręgu K.
Wiemy już, że okrąg ma ma swój środek w punkcie o współrzędnych S_K=(1,2). Promień okręgu nie uległ zmianie, więc r² będzie takie samo jak w pierwszym okręgu O. To oznacza, że okrąg K jest określony równaniem:
(x-1)²+(y-2)²=9
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.