Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną AC rombu ABCD oraz wierzchołki A=(-2,1) i C=(4,5) tego rombu. Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną BD tego rombu.
Odpowiedzi do wyboru
- A.y=-2/3 x+11/3
- B.y=-3/2 x+4
- C.y=-x+4
- D.y=-3/2 x+9/2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Wyznacza się równanie prostej zawierającej przekątną BD rombu.
Krok 1: Właściwości przekątnych rombu
W rombie przekątne: - przecinają się w połowie swoich długości (punkt przecięcia to środek obu przekątnych) - są prostopadłe
Krok 2: Wyznacza się środek przekątnej AC
Środek odcinka AC to punkt S, który jest też środkiem przekątnej BD:
S = ((-2+4)/2, (1+5)/2) = (2/2, 6/2) = (1, 3)
Krok 3: Wyznacza się współczynnik kierunkowy prostej AC
Dla punktów A=(-2,1) i C=(4,5):
a_(AC) = (5-1)/(4-(-2)) = 4/6 = 2/3
Krok 4: Wyznacza się współczynnik kierunkowy prostej BD
Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe, ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:
a_(BD) · a_(AC) = -1
a_(BD) · 2/3 = -1
a_(BD) = -3/2
Krok 5: Zapisuje się równanie prostej BD
Prosta BD przechodzi przez punkt S=(1,3) i ma współczynnik kierunkowy a_(BD) = -3/2:
y - 3 = -3/2(x - 1)
y - 3 = -3/2 x + 3/2
y = -3/2 x + 3/2 + 3
y = -3/2 x + 3/2 + 6/2
y = -3/2 x + 9/2
Odpowiedź: D
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.