Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na kwadracie, którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu y=2x-2, a punkt A=(1,5) jest jego wierzchołkiem. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (3/2, 7/2) lub (5/2, 11/2)
Krok 1. Sprawdzenie położenia punktu A.
Po podstawieniu x=1 do równania prostej:
2 · 1-2=0 ≠ 5
Punkt A nie leży na tej prostej, więc jest jednym z dwóch wierzchołków kwadratu leżących poza bokiem zawartym w prostej.
Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Bok kwadratu jest równy odległości punktu A od prostej 2x-y-2=0:
a=(|2 · 1-5-2|)/√(2²+(-1)²)=5/√(5)=√(5)
Krok 3. Wyznaczenie sąsiedniego wierzchołka na prostej.
Rzut prostokątny punktu A na prostą leży na prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez A. Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy -1/2:
y=-1/2(x-1)+5=-1/2 x+11/2
Po przyrównaniu do równania danej prostej:
2x-2=-1/2 x+11/2
5/2 x=15/2 ⇒ x=3, y=4
Rzutem jest punkt P=(3,4), a jego odległość od A wynosi √(5), czyli dokładnie tyle, ile bok kwadratu. Odcinek AP jest więc bokiem, a P sąsiednim wierzchołkiem.
Krok 4. Wyznaczenie drugiego wierzchołka na prostej.
Wektor o długości √(5) równoległy do prostej to u=[1,2]. Drugi wierzchołek leżący na prostej powstaje przez odłożenie tego wektora od punktu P w jedną albo w drugą stronę, co daje dwa przypadki.
Krok 5. Przypadek pierwszy.
Q=P+u=(3+1, 4+2)=(4,6)
Środek okręgu opisanego na kwadracie leży w środku przekątnej AQ:
S₁=((1+4)/2, (5+6)/2)=(5/2, 11/2)
Krok 6. Przypadek drugi.
Q'=P-u=(3-1, 4-2)=(2,2)
S₂=((1+2)/2, (5+2)/2)=(3/2, 7/2)
Odpowiedź: (3/2, 7/2) lub (5/2, 11/2)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.