Nierówność trójkąta - warunek istnienia i zadania maturalne

Nierówność trójkąta mówi, że w każdym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku. Dla boków $a$, $b$, $c$ muszą zachodzić trzy warunki naraz: $a + b > c$, $a + c > b$ oraz $b + c > a$. W praktyce sprawdzasz tylko jeden z nich, ten dla najdłuższego boku: jeśli suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego, trójkąt istnieje. Gdy suma jest równa najdłuższemu bokowi albo od niego mniejsza, trójkąta nie da się zbudować.

To jeden z tych warunków, o których łatwo zapomnieć, bo zadanie nigdy o nim nie przypomina. Na maturze wchodzi bocznymi drzwiami: w zadaniach zamkniętych z parametrem, w zadaniach otwartych typu "liczby $a$, $b$, $c$ są długościami boków trójkąta" i wszędzie tam, gdzie trzeba rozstrzygnąć, który bok jest najdłuższy. W bazie sprawnamatura takie zadania znajdziesz między innymi w arkuszu z matury maj 2016, w arkuszu z matury maj 2012 i w zestawie treningowym CKE. Poniżej masz warunek, jego wersję skróconą, oszacowanie trzeciego boku i pięć zadań rozwiązanych krok po kroku.

Na czym polega nierówność trójkąta

Nierówność trójkąta to warunek, który musi spełniać każda trójka długości boków. Suma dwóch dowolnych boków ma być większa od trzeciego. Powód jest czysto geometryczny: najkrótsza droga z punktu $A$ do punktu $C$ to odcinek $AC$. Idąc z $A$ do $C$ przez punkt $B$, pokonujesz $|AB| + |BC|$, a ta droga musi być dłuższa od odcinka.

Wyobraź sobie dwa patyki przymocowane zawiasami do końców trzeciego. Jeśli razem są krótsze od podstawy, ich wolne końce nigdy się nie spotkają. Jeśli razem są dokładnie tak długie jak podstawa, kładą się na niej płasko i zamiast trójkąta dostajesz odcinek. Dopiero gdy są dłuższe, końce spotykają się nad podstawą i figura się domyka.

Warunek istnienia trójkąta - najszybsze sprawdzenie

Trzy nierówności wyglądają na dużo pracy, ale wystarczy sprawdzić jedną. Uporządkuj boki od najkrótszego do najdłuższego, oznacz je $a \le b \le c$ i sprawdź jedno porównanie: czy $a + b > c$. Jeśli ten warunek zachodzi, dwa pozostałe zachodzą automatycznie.

Dlaczego automatycznie? Bok $c$ jest najdłuższy, a wszystkie długości są dodatnie. Wtedy $a + c > c \ge b$ oraz $b + c > c \ge a$, więc obie te nierówności są prawdziwe bez liczenia. Cała robota siedzi w porównaniu sumy dwóch krótszych boków z najdłuższym.

Do tego dochodzi warunek, o którym uczniowie zapominają najczęściej: każda długość musi być dodatnia. Gdy boki są zapisane wyrażeniami z parametrem, to właśnie ten warunek odsiewa część rozwiązań, zanim jeszcze dojdziesz do nierówności trójkąta.

Ten sam warunek da się odwrócić i zapisać jako oszacowanie trzeciego boku. Znasz dwa boki $a$ i $b$, a szukasz zakresu dla trzeciego boku $c$. Z nierówności $a + c > b$ wynika $c > b - a$, z nierówności $b + c > a$ wynika $c > a - b$, a obie razem dają $c > |a - b|$. Z ostatniej nierówności $a + b > c$ masz górne ograniczenie. Całość zapisujesz jednym wierszem: $|a - b| < c < a + b$.

Wzory

Symbol $p$ oznacza podstawę, a $r$ ramię. Podstawa musi być krótsza od sumy ramion, czyli od $2r$, i oczywiście dodatnia. Więcej o tej figurze znajdziesz w poradniku o własnościach trójkąta równoramiennego.

Typowe pułapki

Klasyczny przykład tej pułapki stoi w arkuszu z maja 2016. Rozwiąż to zadanie samodzielnie, zanim zajrzysz do rozwiązania, i zwróć uwagę na to, ile odpowiedzi daje dwa równe boki.

Co musisz umieć - checklista

Najczęstsze pytania