Jak obliczyć długość boku trójkąta - 7 metod i zadania maturalne krok po kroku

"Jak obliczyć długość boku trójkąta" to jedno z najczęstszych pytań uczniów przed maturą. Odpowiedź zależy od tego, co masz dane: dwa boki i kąt, jeden bok i dwa kąty, współrzędne wierzchołków czy tylko informację o podobieństwie. W tym przewodniku pokażę Ci siedem metod wraz z przykładami, żebyś zawsze wiedział, po który wzór sięgnąć.

Każda metoda ma swoje "kiedy stosować" - naucz się rozpoznawać schemat w zadaniu, a liczenie będzie mechaniczne.

Metoda 1 - twierdzenie Pitagorasa (tylko trójkąt prostokątny)

Kiedy używać: kiedy widzisz trójkąt prostokątny i masz dwa z trzech boków.

Wzór:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

gdzie $c$ to przeciwprostokątna (bok naprzeciw kąta prostego), a $a, b$ - przyprostokątne.

Przykład: w trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 5 i 12. Oblicz przeciwprostokątną.

$$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

To klasyczna trójka pitagorejska (5, 12, 13). Znajomość trójek (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) daje Ci przewagę na egzaminie - rozpoznajesz wynik bez liczenia.

Jeśli szukasz przyprostokątnej, przekształcasz wzór: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. Pamiętaj, że pod pierwiastkiem musi być liczba dodatnia (w przeciwnym razie taki trójkąt nie istnieje - to sprawdzian sensowności).

Więcej o Pitagorasie znajdziesz w pełnym artykule o twierdzeniu Pitagorasa.

Metoda 2 - twierdzenie cosinusów (dowolny trójkąt)

Kiedy używać: kiedy masz dwa boki i kąt między nimi (zasada SAS) albo kiedy masz wszystkie trzy boki i szukasz kąta.

Wzór:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$

gdzie $\gamma$ to kąt między bokami $a$ i $b$, a $c$ to bok naprzeciw tego kąta.

Przykład: w trójkącie $ABC$ mamy $a = 7$, $b = 8$, kąt $\gamma = 60°$. Oblicz bok $c$.

$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 60°$$
$$c^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2}$$
$$c^2 = 113 - 56 = 57$$
$$c = \sqrt{57}$$

Jeśli kąt $\gamma = 90°$, $\cos 90° = 0$ i wzór upraszcza się do $c^2 = a^2 + b^2$ - czyli Pitagorasa. Twierdzenie cosinusów to uogólniona wersja Pitagorasa.

Metoda 3 - twierdzenie sinusów (dowolny trójkąt)

Kiedy używać: kiedy masz bok i dwa kąty (zasada ASA) albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich (zasada SSA).

Wzór:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

gdzie $\alpha, \beta, \gamma$ to kąty naprzeciw boków $a, b, c$, a $R$ to promień okręgu opisanego.

Przykład: w trójkącie $\alpha = 30°$, $\beta = 45°$, $a = 10$. Oblicz $b$.

$$\frac{10}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$$
$$\frac{10}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$20 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$$
$$b = 10\sqrt{2}$$

Twierdzenie sinusów i cosinusów omawiam szerzej w osobnym artykule.

Metoda 4 - podobieństwo trójkątów (skala)

Kiedy używać: kiedy w zadaniu są dwa podobne trójkąty i szukasz boku jednego z nich.

Kluczowa własność: w trójkątach podobnych stosunki odpowiadających sobie boków są równe:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$$

gdzie $k$ to skala podobieństwa.

Przykład: trójkąt $ABC$ ma boki 3, 4, 5. Trójkąt $A'B'C'$ jest do niego podobny i jego najkrótszy bok ma długość 9. Oblicz pozostałe boki.

Skala $k = 9 / 3 = 3$. Pozostałe boki to $4 \cdot 3 = 12$ oraz $5 \cdot 3 = 15$. Sprawdzenie: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ - trójkąt prostokątny, wszystko się zgadza.

Podobieństwo trójkątów jest szczególnie wygodne w zadaniach z trójkątami prostokątnymi, gdzie wysokość dzieli trójkąt na dwa podobne.

Metoda 5 - trójkąty szczególne (30-60-90 i 45-45-90)

Kiedy używać: kiedy znasz jeden bok i wiesz, że trójkąt ma kąty 30-60-90 albo 45-45-90.

Trójkąt 45-45-90 (równoramienny prostokątny):

Trójkąt 30-60-90:

Przykład: w trójkącie 30-60-90 przeciwprostokątna ma długość 10. Oblicz pozostałe boki.

Krótsza przyprostokątna: $10 / 2 = 5$. Dłuższa: $5\sqrt{3}$.

Te trójkąty wracają na maturze co roku. Zapisz sobie te zależności w głowie, żebyś mógł je wyciągnąć jak tabliczkę mnożenia.

Metoda 6 - ze współrzędnych wierzchołków

Kiedy używać: kiedy masz punkty $A, B, C$ w układzie współrzędnych i szukasz długości boków.

Wzór na odległość między dwoma punktami $P_1(x_1, y_1)$ i $P_2(x_2, y_2)$:

$$|P_1 P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Przykład: $A(1, 2)$, $B(4, 6)$, $C(7, 2)$. Oblicz długości boków trójkąta $ABC$.

$$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$
$$|BC| = \sqrt{(7-4)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$
$$|AC| = \sqrt{(7-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{36} = 6$$

Trójkąt równoramienny ($|AB| = |BC|$). Gdy piszesz wzory, wzór na odległość pojawia się niemal wszędzie w geometrii analitycznej.

Metoda 7 - ze wzoru na pole

Kiedy używać: kiedy masz pole trójkąta i dwa boki albo dwa kąty, a szukasz trzeciego elementu.

Najczęstszy wzór (pole przez dwa boki i kąt):

$$P = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$$

Stąd:

$$a = \frac{2P}{b \sin \gamma}$$

Przykład: pole trójkąta wynosi 12, jeden bok ma długość 6, a kąt między bokami 30°. Oblicz drugi bok.

$$12 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot b \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot b \cdot \frac{1}{2} = \frac{3b}{2}$$
$$b = 8$$

Masz też wzór Herona dla pola trójkąta po obwodzie - przydaje się, gdy znasz wszystkie trzy boki. Kompletną listę wzorów masz w przewodniku po polu trójkąta.

Zadanie 1 - kombinacja metod

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt prosty jest przy $C$. Wysokość $h$ opuszczona na przeciwprostokątną z wierzchołka $C$ dzieli ją na odcinki 4 i 9. Oblicz długości przyprostokątnych.

Krok 1. Przeciwprostokątna: $c = 4 + 9 = 13$.

Krok 2. Z podobieństwa trójkątów powstałych po narysowaniu wysokości:

$$h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies h = 6$$

Krok 3. Pitagoras w małym trójkącie (z przyprostokątną 4 i wysokością 6):

$$a = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

I w drugim:

$$b = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$$

Sprawdzenie: $a^2 + b^2 = 52 + 117 = 169 = 13^2$. Zgadza się.

Zadanie 2 - trójkąt w sześcianie

Sześcian ma krawędź 4. Oblicz długość odcinka łączącego dwa nieprzeciwległe wierzchołki (przekątna ściany i przekątna przestrzenna).

Przekątna ściany (kwadratu o boku 4): $4\sqrt{2}$.

Przekątna przestrzenna (sześcianu o krawędzi 4): $4\sqrt{3}$.

Oba wychodzą z Pitagorasa zastosowanego raz (ściana) i dwukrotnie (przestrzeń): $\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = 4\sqrt{3}$.

Zadanie 3 - twierdzenie cosinusów z matury

W trójkącie $ABC$ bok $a = 5$, $b = 8$, kąt $\gamma = 120°$. Oblicz bok $c$.

$$c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 120°$$
$$c^2 = 89 - 80 \cdot (-\frac{1}{2}) = 89 + 40 = 129$$
$$c = \sqrt{129}$$

Pamiętaj: $\cos 120° = -\frac{1}{2}$. Minus zmienia plus, więc $c$ wychodzi dłuższy niż pierwiastek z $a^2 + b^2$. Sprawdzenie zdrowego rozsądku: przy kącie rozwartym bok naprzeciw jest najdłuższy - tu $\sqrt{129} \approx 11{,}36$, więc naprawdę najdłuższy.

Zadanie 4 - twierdzenie sinusów z matury

W trójkącie $ABC$ mamy $\alpha = 60°$, $\beta = 75°$, $c = 10$. Oblicz $a$.

Najpierw kąt $\gamma$: $\gamma = 180° - 60° - 75° = 45°$.

$$\frac{a}{\sin 60°} = \frac{10}{\sin 45°}$$
$$a = \frac{10 \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6}$$

Zadanie 5 - współrzędne

Oblicz długość wszystkich boków trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A(-1, 2)$, $B(3, 5)$, $C(6, 1)$.

$$|AB| = \sqrt{16 + 9} = 5$$
$$|BC| = \sqrt{9 + 16} = 5$$
$$|AC| = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Trójkąt jest równoramienny ($|AB| = |BC|$) i dodatkowo $|AB|^2 + |BC|^2 = 25 + 25 = 50 = |AC|^2$ - kąt przy $B$ jest prosty. Mamy trójkąt 45-45-90.

Zadanie 6 - zadanie z treścią

Drabina długości 5 m jest oparta o ścianę tak, że jej dolny koniec znajduje się 3 m od ściany. Na jakiej wysokości drabina opiera się o ścianę?

Trójkąt prostokątny: przeciwprostokątna 5, jedna przyprostokątna 3. Druga:

$$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ m}$$

To klasyczna trójka (3, 4, 5).

Zadanie 7 - zadanie wymagające kombinacji

W trójkącie równoramiennym $ABC$ $|AB| = |AC| = 10$, kąt przy wierzchołku $A$ wynosi 120°. Oblicz długość podstawy $BC$.

Twierdzenie cosinusów dla boku $BC$:

$$|BC|^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 120°$$
$$|BC|^2 = 200 - 200 \cdot (-\frac{1}{2}) = 200 + 100 = 300$$
$$|BC| = 10\sqrt{3}$$

Alternatywa: w trójkącie równoramiennym wysokość z $A$ dzieli go na dwa trójkąty 30-60-90 (bo kąty przy podstawie to 30°). Krótsza przyprostokątna (połowa podstawy) to $10 \sin 60° = 5\sqrt{3}$, więc podstawa $10\sqrt{3}$. Ten sam wynik, krótszą drogą.

Decyzyjna tabelka - którą metodę wybrać

Tabelkę warto przepisać na osobną kartkę i mieć przed sobą przy rozwiązywaniu zadań.

Checklista - co musisz umieć

Jeśli chcesz jeszcze więcej ćwiczeń, sprawdź zadania z planimetrii i przewodnik po trójkątach. Powodzenia na maturze.