Wzajemne położenie dwóch okręgów - warunki, wzory i zadania maturalne

Wzajemne położenie dwóch okręgów rozstrzygasz jednym porównaniem: zestawiasz odległość $d$ między środkami okręgów z sumą promieni $r_1 + r_2$ oraz z wartością bezwzględną ich różnicy $|r_1 - r_2|$. Okręgi są styczne zewnętrznie, gdy $d = r_1 + r_2$, styczne wewnętrznie, gdy $d = |r_1 - r_2| > 0$, przecinają się w dwóch punktach, gdy $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, a nie mają punktów wspólnych, gdy $d > r_1 + r_2$ (leżą osobno) albo $d < |r_1 - r_2|$ (jeden leży w całości wewnątrz drugiego).

To jeden z tych tematów z planimetrii, które CKE lubi dawać jako zadanie zamknięte za 1 punkt: dostajesz dwa promienie i odległość środków, a masz rozpoznać położenie okręgów. Mechanika jest zawsze taka sama, więc raz zrozumiana daje pewny punkt na egzaminie. W tym wpisie znajdziesz wszystkie warunki zebrane w jednej tabeli, intuicję, skąd się one biorą, oraz 5 zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku. Jeśli chcesz od razu ćwiczyć, w naszej bazie czeka na ciebie 269 zadań maturalnych z planimetrii z pełnymi rozwiązaniami.

Wszystkie możliwe położenia dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą mieć 0, 1 lub 2 punkty wspólne. O tym, który przypadek zachodzi, decyduje wyłącznie porównanie odległości środków $d$ z dwiema liczbami: sumą promieni $r_1 + r_2$ i modułem różnicy promieni $|r_1 - r_2|$. Nie musisz nic rysować ani rozwiązywać układów równań, wystarczy porównać trzy liczby.

Oto pełna tabela możliwych położeń:

Dwa przypadki szczególne: gdy $d = 0$ i $r_1 \neq r_2$, okręgi są współśrodkowe (rozłączne wewnętrznie, zero punktów wspólnych), a gdy $d = 0$ i $r_1 = r_2$, to po prostu ten sam okrąg.

Skąd się biorą te warunki

Warunki z tabeli to nic innego jak nierówność trójkąta zastosowana do odcinka łączącego środki okręgów. Jeżeli okręgi przecinają się w punkcie $P$, to odcinki $S_1P = r_1$, $S_2P = r_2$ i $S_1S_2 = d$ tworzą trójkąt, a trójkąt istnieje dokładnie wtedy, gdy każdy bok jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych. Stąd bierze się podwójna nierówność $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.

Styczność to przypadki graniczne, w których ten trójkąt spłaszcza się do odcinka. Gdy $d = r_1 + r_2$, punkt styczności leży między środkami: idziesz $r_1$ od pierwszego środka i $r_2$ od drugiego, i spotykacie się dokładnie w jednym punkcie. Gdy $d = |r_1 - r_2|$, środki leżą blisko siebie, a mniejszy okrąg dotyka większego od wewnątrz, w punkcie leżącym na przedłużeniu odcinka $S_1S_2$. Dzięki tej intuicji nie musisz kuć tabeli na pamięć: duże $d$ to położenia zewnętrzne, małe $d$ to położenia wewnętrzne, a pomiędzy nimi okręgi się przecinają.

Algorytm: jak rozpoznać położenie okręgów w 3 krokach

Krok 1: Wypisz trzy liczby. Odległość środków $d$, sumę promieni $r_1 + r_2$ i moduł różnicy $|r_1 - r_2|$.

Krok 2: Ustaw je na osi. Zawsze zachodzi $|r_1 - r_2| \leq r_1 + r_2$, więc masz dwa progi, które dzielą oś liczbową na trzy obszary.

Krok 3: Sprawdź, gdzie wpada $d$. Powyżej sumy: rozłączne zewnętrznie. Dokładnie suma: styczne zewnętrznie. Między progami: przecinające się. Dokładnie moduł różnicy: styczne wewnętrznie. Poniżej: jeden okrąg wewnątrz drugiego.

Wzajemne położenie prostej i okręgu

Prosta i okrąg mogą mieć 0, 1 lub 2 punkty wspólne, a decyduje o tym porównanie odległości $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$. Gdy $d > r$, prosta i okrąg są rozłączne, gdy $d = r$, prosta jest styczna do okręgu, a gdy $d < r$, prosta jest sieczną i przecina okrąg w dwóch punktach.

To ten sam schemat myślenia, tylko zamiast dwóch promieni masz jeden. Odległość środka od prostej policzysz ze wzoru na odległość punktu od prostej, a warunek styczności w praktyce zobaczysz we wpisie o wyznaczaniu równania stycznej do okręgu.

Zadanie 1: Styczność zewnętrzna - oblicz odległość środków

Treść: Okręgi o promieniach $r_1 = 4$ i $r_2 = 9$ są styczne zewnętrznie. Oblicz odległość ich środków. Jaka byłaby ta odległość, gdyby okręgi były styczne wewnętrznie?

Krok 1: Wybierz właściwy warunek. Styczność zewnętrzna oznacza $d = r_1 + r_2$.

Krok 2: Podstaw promienie. $d = 4 + 9 = 13$.

Krok 3: Rozpatrz styczność wewnętrzną. Tu obowiązuje warunek $d = |r_1 - r_2| = |4 - 9| = 5$.

Odpowiedź: Przy styczności zewnętrznej odległość środków wynosi 13, przy wewnętrznej 5.

To najczęstszy wariant tego zadania w arkuszach: czysta znajomość warunku, zero rachunków. Właśnie dlatego warto mieć tę tabelę w małym palcu, bo to punkt do wzięcia w kilkanaście sekund, podobnie jak inne łatwe punkty na maturze.

Zadanie 2: Styczność wewnętrzna - znajdź promień drugiego okręgu

Treść: Okrąg o środku $S_1$ ma promień 15. Okrąg o środku $S_2$ jest z nim styczny wewnętrznie, a odległość środków wynosi $|S_1S_2| = 7$. Oblicz promień $r$ drugiego okręgu.

Krok 1: Zapisz warunek styczności wewnętrznej. $|15 - r| = 7$.

Krok 2: Rozwiąż równanie z wartością bezwzględną. Albo $15 - r = 7$, albo $15 - r = -7$. Z pierwszego równania $r = 8$, z drugiego $r = 22$.

Krok 3: Zinterpretuj oba wyniki. Dla $r = 8$ mniejszy okrąg leży wewnątrz okręgu o promieniu 15 i dotyka go od wewnątrz. Dla $r = 22$ role się odwracają: to okrąg o promieniu 15 leży wewnątrz większego. Oba przypadki są geometrycznie poprawne.

Odpowiedź: $r = 8$ lub $r = 22$.

Jeżeli równania z modułem sprawiają ci kłopot, przećwicz je we wpisie o równaniach i nierównościach z wartością bezwzględną. Uwaga: w zadaniu zamkniętym CKE często podane jest dodatkowo, który okrąg jest większy, i wtedy zostaje tylko jedna odpowiedź.

Zadanie 3: Okręgi dane równaniami - określ ich położenie

Treść: Określ wzajemne położenie okręgów $o_1: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ oraz $o_2: (x-5)^2 + (y-5)^2 = 4$.

Krok 1: Odczytaj środki i promienie. Z postaci równania okręgu $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ odczytujemy: $S_1 = (1, 2)$ i $r_1 = \sqrt{9} = 3$ oraz $S_2 = (5, 5)$ i $r_2 = \sqrt{4} = 2$.

Krok 2: Oblicz odległość środków. Korzystamy ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

$d = \sqrt{(5-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Krok 3: Porównaj $d$ z sumą i różnicą promieni. $r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$ oraz $|r_1 - r_2| = 1$. Mamy $d = 5 = r_1 + r_2$.

Odpowiedź: Okręgi są styczne zewnętrznie i mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Zadanie 4: Dla jakich promieni okręgi przecinają się w dwóch punktach

Treść: Odległość środków dwóch okręgów wynosi 8, a promień pierwszego z nich to 3. Dla jakich wartości promienia $r$ drugiego okręgu okręgi przecinają się dokładnie w dwóch punktach?

Krok 1: Zapisz warunek na dwa punkty wspólne. $|r - 3| < 8 < r + 3$.

Krok 2: Rozwiąż nierówność $8 < r + 3$. Stąd $r > 5$.

Krok 3: Rozwiąż nierówność $|r - 3| < 8$. To oznacza $-8 < r - 3 < 8$, czyli $-5 < r < 11$. Promień musi być dodatni, więc zostaje $0 < r < 11$.

Krok 4: Weź część wspólną obu warunków. $r > 5$ i $r < 11$ dają przedział $r \in (5, 11)$.

Odpowiedź: Okręgi przecinają się w dwóch punktach dla $r \in (5, 11)$.

Zwróć uwagę na wartości brzegowe: dla $r = 5$ okręgi byłyby styczne zewnętrznie (bo $3 + 5 = 8$), a dla $r = 11$ styczne wewnętrznie (bo $|11 - 3| = 8$). Dlatego przedział jest otwarty z obu stron.

Zadanie 5: Ile punktów wspólnych ma okrąg z osią OX

Treść: Ile punktów wspólnych z osią $OX$ ma okrąg o równaniu $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$? Wyznacz te punkty.

Krok 1: Odczytaj środek i promień. $S = (3, 4)$, $r = \sqrt{25} = 5$.

Krok 2: Oblicz odległość środka od osi OX. Odległość punktu $(3, 4)$ od osi $OX$ to $|4| = 4$.

Krok 3: Porównaj z promieniem. $4 < 5$, więc oś $OX$ jest sieczną okręgu i przecina go w dwóch punktach.

Krok 4: Wyznacz punkty przecięcia. Podstaw $y = 0$ do równania okręgu: $(x-3)^2 + 16 = 25$, czyli $(x-3)^2 = 9$. Stąd $x - 3 = 3$ lub $x - 3 = -3$, więc $x = 6$ lub $x = 0$.

Odpowiedź: Okrąg przecina oś $OX$ w dwóch punktach: $(0, 0)$ i $(6, 0)$.

Typowe pułapki

• •Tylko jeden warunek styczności. Samo słowo styczne bez dookreślenia oznacza dwa możliwe przypadki: zewnętrznie ($d = r_1 + r_2$) i wewnętrznie ($d = |r_1 - r_2|$). Jeśli zadanie nie precyzuje, rozważ oba, tak jak w zadaniu 2.
• •Zgubiona wartość bezwzględna. Warunek styczności wewnętrznej to $d = |r_1 - r_2|$, a nie $d = r_1 - r_2$. Bez modułu dostaniesz ujemną odległość, gdy $r_2 > r_1$, a to nie ma sensu geometrycznego.
• •Promień z równania okręgu. W równaniu $(x-a)^2 + (y-b)^2 = 9$ promień to $3$, a nie $9$. Prawa strona równania to $r^2$, nie $r$.
• •Rozłączne nie znaczy daleko od siebie. Okręgi rozłączne to także przypadek, gdy jeden leży w całości wewnątrz drugiego. W zadaniach z parametrem musisz sprawdzić oba przypadki braku punktów wspólnych.
• •Zapomniany warunek $r > 0$. Przy dyskusji z parametrem promień musi być dodatni, więc wynikowy przedział zawsze przetnij z przedziałem $(0, \infty)$.

Najczęstsze pytania

Checklista: co musisz umieć

Chcesz więcej zadań z okręgów? Zobacz wpis o kątach wpisanych i środkowych w okręgu oraz kompletny przewodnik po planimetrii na maturze, a potem rozwiąż serię zadań z tego działu w naszej bazie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie