W trójkącie równoramiennym ABC o wysokościach CD i AE podstawa AB ma długość 8 cm, a odcinek BE ma długość 3 cm. Długość odcinka AC jest równa:
Odpowiedzi do wyboru
- A.6 cm
- B.32/3 cm
- C.28/3 cm
- D.33/2 cm
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Oznacza się wierzchołki i dane: - Trójkąt ABC jest równoramienny - AB = 8 cm (podstawa) - CD i AE są wysokościami - BE = 3 cm
Krok 1: Ustalenie, które boki są równe
Skoro AB jest podstawą trójkąta równoramiennego, to ramiona są równe: AC = BC.
Krok 2: Analiza wysokości AE
Wysokość AE opuszczona jest z wierzchołka A na bok BC, więc E ∈ BC i AE ⊥ BC.
Ponieważ BE = 3 cm, to: EC = BC - BE = BC - 3
Krok 3: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABE
W trójkącie prostokątnym ABE (gdzie ∠AEB = 90°): AB² = AE² + BE² 64 = AE² + 9 AE² = 55 AE = √(55)
Krok 4: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AEC
W trójkącie prostokątnym AEC (gdzie ∠AEC = 90°): AC² = AE² + EC² AC² = 55 + EC²
Krok 5: Wyrażenie EC przez AC
Ponieważ AC = BC i EC = BC - 3, mamy: EC = AC - 3
Krok 6: Podstawienie do równania
AC² = 55 + (AC - 3)² AC² = 55 + AC² - 6AC + 9 0 = 64 - 6AC 6AC = 64 AC = 64/6 = 32/3 cm
Weryfikacja: - AC = BC = 32/3 cm - EC = 32/3 - 3 = 23/3 cm - Sprawdzenie: AC² = 55 + EC² ⇒ (32/3)² = 55 + (23/3)² - 1024/9 = 55 + 529/9 = (495 + 529)/9 = 1024/9 ✓
Odpowiedź: B
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.