Wielomian W(x) jest stopnia czwartego. Pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu jest liczba -1. Po rozłożeniu na czynniki wielomian ten może być postaci:
Odpowiedzi do wyboru
- A.-2(x-1)²(x²+1)
- B.(x+1)²(x-4)
- C.-(x+1)²(x²+3)
- D.(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
# Analiza warunków zadania
Wielomian W(x) musi spełniać dwa warunki: 1. Jest stopnia czwartego 2. Liczba -1 jest jego pierwiastkiem dwukrotnym
Jeśli -1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, to w rozkładzie na czynniki musi wystąpić czynnik (x+1)².
# Sprawdzenie kolejnych opcji
Opcja A: -2(x-1)²(x²+1)
Stopień wielomianu: 2 + 2 = 4 ✓
Pierwiastki: - (x-1)² = 0 ⇒ x = 1 (dwukrotny) - (x²+1) = 0 ⇒ x² = -1 (brak rzeczywistych pierwiastków)
Liczba -1 nie jest pierwiastkiem. ✗
Opcja B: (x+1)²(x-4)
Stopień wielomianu: 2 + 1 = 3
To wielomian stopnia trzeciego, nie czwartego. ✗
Opcja C: -(x+1)²(x²+3)
Stopień wielomianu: 2 + 2 = 4 ✓
Pierwiastki: - (x+1)² = 0 ⇒ x = -1 (dwukrotny) ✓ - (x²+3) = 0 ⇒ x² = -3 (brak rzeczywistych pierwiastków)
Liczba -1 jest pierwiastkiem dwukrotnym. ✓
Opcja D: (x-1)(x+1)(x+2)(x-3)
Stopień wielomianu: 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ✓
Pierwiastki: x = 1, -1, -2, 3 (wszystkie jednokrotne)
Liczba -1 jest pierwiastkiem jednokrotnym, nie dwukrotnym. ✗
# Weryfikacja odpowiedzi C
Wielomian -(x+1)²(x²+3): - Ma stopień 4 ✓ - Ma czynnik (x+1)², więc -1 jest pierwiastkiem dwukrotnym ✓ - Czynnik (x²+3) jest zawsze dodatni, więc nie daje innych rzeczywistych pierwiastków
Odpowiedź: C
Wyrażenia algebraiczne: Przekształcanie wyrażeń, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki i wyrażenia wymierne wraz z dziedziną.