Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa 8 cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa 2 cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: r₁=5, r₂=3
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-29.png]
Oznaczmy promienie dwóch okręgów przez r₁ i r₂, gdzie r₁ > r₂.
## Warunek dla okręgów stycznych zewnętrznie
Gdy dwa okręgi są styczne zewnętrznie, odległość ich środków jest równa sumie promieni:
d₁ = r₁ + r₂
Z treści zadania wiemy, że d₁ = 8 cm, zatem:
r₁ + r₂ = 8
## Warunek dla okręgów stycznych wewnętrznie
Gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie (jeden okrąg jest wewnątrz drugiego), odległość ich środków jest równa różnicy promieni:
d₂ = r₁ - r₂
Z treści zadania wiemy, że d₂ = 2 cm, zatem:
r₁ - r₂ = 2
## Rozwiązanie układu równań
Mamy układ dwóch równań:
r₁ + r₂ = 8 r₁ - r₂ = 2 Dodajemy równania stronami: (r₁ + r₂) + (r₁ - r₂) = 8 + 2 2r₁ = 10 r₁ = 5 cm Podstawiamy r₁ = 5 do pierwszego równania: 5 + r₂ = 8 r₂ = 3 cm ## Sprawdzenie - Styczne zewnętrznie: r₁ + r₂ = 5 + 3 = 8 ✓ - Styczne wewnętrznie: r₁ - r₂ = 5 - 3 = 2 ✓ Odpowiedź: Promienie okręgów wynoszą r₁ = 5 cm i r₂ = 3 cm.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.