Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał 5 zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o 2 zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy 480?
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 21
Analizuje się problem dotyczący ciągu arytmetycznego.
## Dane z zadania
- Pierwszy tydzień: a₁ = 5 zadań - Każdy następny tydzień o 2 zadania więcej: r = 2 - Szukamy tygodnia n, w którym suma wszystkich rozwiązanych zadań przekroczy 480
## Ustalenie wzoru
Liczba zadań w kolejnych tygodniach tworzy ciąg arytmetyczny: a_n = a₁ + (n-1) · r = 5 + (n-1) · 2 = 5 + 2n - 2 = 3 + 2n
## Suma zadań po n tygodniach
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: S_n = n(a₁ + a_n)/2
Podstawia się: S_n = n(5 + 3 + 2n)/2 = n(8 + 2n)/2 = 2n(4 + n)/2 = n(4 + n) = n² + 4n
## Rozwiązanie nierówności
Szuka się najmniejszego n, dla którego: S_n > 480
n² + 4n > 480
n² + 4n - 480 > 0
Rozwiązuje się równanie kwadratowe n² + 4n - 480 = 0:
Δ= 16 + 4 · 480 = 16 + 1920 = 1936
√(Δ) = √(1936) = 44
n = (-4 ± 44)/2
n₁ = (-4 + 44)/2 = 40/2 = 20 lub n₂ = (-4 - 44)/2 = -24
Ponieważ n > 0, rozważam tylko n₁ = 20.
## Sprawdzenie
Dla n = 20: S₂₀ = 20² + 4 · 20 = 400 + 80 = 480
Dla n = 21: S₂₁ = 21² + 4 · 21 = 441 + 84 = 525
## Wniosek
Po 20 tygodniach uczeń rozwiąże dokładnie 480 zadań.
W 21. tygodniu liczba rozwiązanych zadań po raz pierwszy przekroczy 480 (wyniesie 525).
Odpowiedź: 21
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.