W czworokącie OBMA kąty wewnętrzne AOB i AMB mają równe miary. Wówczas kąt α ma miarę:
Odpowiedzi do wyboru
- A.160°
- B.120°
- C.240°
- D.210°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Analizuje się czworokąt OBMA z warunkiem, że kąty wewnętrzne przy wierzchołkach O i M są równe.
## Oznaczenia i informacje z treści
- Czworokąt OBMA ma wierzchołki w kolejności: O, B, M, A - Kąt wewnętrzny przy wierzchołku O (czyli ∠AOB) = kąt wewnętrzny przy wierzchołku M (czyli ∠AMB) - Szukamy miary kąta α
## Kluczowa obserwacja
Z kontekstu zadania (oznaczenie wierzchołka O, typowe w geometrii) oraz faktu, że pytamy o kąt α oznaczony jako kąt środkowy, zakłada się standardową sytuację: - O jest środkiem okręgu - Punkty A, B, M leżą na okręgu - α = ∠AOB (kąt środkowy) - ∠AMB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku AB
## Związek między kątem środkowym a wpisanym
Dla kąta środkowego α i kąta wpisanego opartych na tym samym łuku zachodzi: - Kąt wpisany = ½ kąta środkowego
## Warunek z zadania
Mamy ∠AOB = ∠AMB, czyli: α= α/2
To równanie nie ma sensu dla α > 0, więc musimy rozważyć pełny kąt.
## Poprawna interpretacja
Jeśli kąty wewnętrzne czworokąta przy O i M są równe, a O jest środkiem, to: - Kąt środkowy α jest liczony jako kąt pełny minus kąt podstawowy - Jeśli oznaczamy mniejszy kąt środkowy jako β, to α = 360° - β - Kąt wpisany ∠AMB oparty na łuku większym wynosi: ∠AMB = ½(360° - β) = 180° - ½β
Z warunku ∠AOB = ∠AMB w czworokącie (jako kąty wewnętrzne):
Jeśli interpretujemy α jako większy kąt środkowy i używamy relacji dla czworokąta wpisanego: α= 2 · (180° - (360° - α)/2) α= 360° - (360° - α)
## Standardowe rozwiązanie
Dla punktów na okręgu, gdy kąt wpisany równa się odpowiedniemu kątowi w konfiguracji: α+ α/2 = 360° 3α/2 = 360° α= 240°
Odpowiedź: C
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.