W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o 4 krótsza od przekątnej podstawy i o 8 krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: sin α=3/5
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-32.png]
Oznaczmy dane wielkości: - a – krawędź podstawy (kwadrat) - H – wysokość graniastosłupa - d_p – przekątna podstawy - d_g – przekątna graniastosłupa
## Krok 2: Wyznaczenie przekątnej podstawy
Podstawa to kwadrat o boku a, więc: d_p = a√(2)
## Krok 3: Wyznaczenie przekątnej graniastosłupa
Przekątna graniastosłupa łączy przeciwległe wierzchołki dolnej i górnej podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa: d_g = √(d_p² + H²) = √(2a² + H²)
## Krok 4: Zapisanie warunków z treści zadania
Z treści mamy: - Wysokość jest o 4 krótsza od przekątnej podstawy: H = d_p - 4
- Wysokość jest o 8 krótsza od przekątnej graniastosłupa: H = d_g - 8
## Krok 5: Rozwiązanie układu równań
Z pierwszego warunku: H = a√(2) - 4
Z drugiego warunku: H = d_g - 8
Zatem: d_g = H + 8 = a√(2) - 4 + 8 = a√(2) + 4
Ale też wiemy, że: d_g² = 2a² + H²
Podstawiamy: (a√(2) + 4)² = 2a² + (a√(2) - 4)²
2a² + 8a√(2) + 16 = 2a² + 2a² - 8a√(2) + 16
2a² + 8a√(2) + 16 = 4a² - 8a√(2) + 16
8a√(2) = 2a² - 8a√(2)
16a√(2) = 2a²
8√(2)a = a²
a = 8√(2)
## Krok 6: Obliczenie wysokości i przekątnej graniastosłupa
H = a√(2) - 4 = 8√(2) · √(2) - 4 = 16 - 4 = 12
d_g = H + 8 = 12 + 8 = 20
## Krok 7: Obliczenie sinusa kąta
Kąt α między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy to kąt między d_g a d_p.
W trójkącie prostokątnym utworzonym przez przekątną graniastosłupa, przekątną podstawy i wysokość graniastosłupa:
sin α= H/d_g = 12/20 = 3/5
Odpowiedź: sin α= 3/5
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.