Ojciec i syn zbierają jabłka. Razem zebranie wszystkich jabłek zajęło im 6 godzin. Gdyby ojciec zbierał jabłka sam, to zajęłoby mu to o 5 godzin mniej, niż gdyby zbierał je sam jego syn. W jakim czasie ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka?
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: w 10 godzin
Oznaczmy czas, w jakim ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka jako x godzin.
Krok 1: Określenie czasów pracy
- Ojciec sam zebrałby jabłka w x godzin - Syn sam zebrałby jabłka w x + 5 godzin (bo zajęłoby mu to o 5 godzin więcej)
Krok 2: Określenie wydajności pracy
Jeśli przyjmiemy, że całość pracy to "1", to: - Wydajność ojca: 1/x pracy na godzinę - Wydajność syna: 1/(x+5) pracy na godzinę
Krok 3: Wydajność wspólnej pracy
Pracując razem, ich wydajności się sumują:
Wydajność wspólna = 1/x + 1/(x+5)
Krok 4: Równanie na podstawie czasu wspólnej pracy
Razem zebrali wszystkie jabłka w 6 godzin, więc:
6 · (1/x + 1/(x+5)) = 1
Krok 5: Rozwiązanie równania
6/x + 6/(x+5) = 1
Mnożymy obie strony przez x(x+5):
6(x+5) + 6x = x(x+5)
6x + 30 + 6x = x² + 5x
12x + 30 = x² + 5x
0 = x² - 7x - 30
Krok 6: Rozwiązanie równania kwadratowego
x² - 7x - 30 = 0
Obliczamy deltę: Δ= 49 - 4 · 1 · (-30) = 49 + 120 = 169
√(Δ) = 13
x = (7 ± 13)/2
Otrzymujemy dwa rozwiązania: - x₁ = (7 + 13)/2 = 20/2 = 10 - x₂ = (7 - 13)/2 = -6/2 = -3
Krok 7: Wybór odpowiedzi
Czas nie może być ujemny, więc x = 10.
Sprawdzenie: - Ojciec zbiera sam w 10 godzin, syn w 15 godzin - Wspólna wydajność: 1/10 + 1/15 = (3+2)/30 = 5/30 = 1/6 pracy na godzinę - Czas wspólnej pracy: 6 godzin ✓
Odpowiedź: Ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka w 10 godzin.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.