Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest 2 razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: cos α=√(5)/5
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-28.png]
Oznaczmy: - h – wysokość masztu - d – długość cienia - α – kąt padania promieni słonecznych (kąt między promieniem a poziomem)
## Analiza sytuacji
Z treści zadania wiemy, że cień jest 2 razy krótszy niż wysokość masztu: d = h/2
## Rysunek sytuacji
Promienie słoneczne, maszt i cień tworzą trójkąt prostokątny, gdzie: - przyprostokątna pionowa (maszt) ma długość h - przyprostokątna pozioma (cień) ma długość d = h/2 - kąt α jest przy podstawie cienia (między promieniem słonecznym a poziomem)
## Obliczenie cosinusa
W trójkącie prostokątnym: tan α= h/d = h/(h/2) = 2
Aby obliczyć cos α, wykorzystamy tożsamość trygonometryczną: 1 + tan² α= 1/(cos² α)
Podstawiamy tan α= 2: 1 + 2² = 1/(cos² α)
1 + 4 = 1/(cos² α)
5 = 1/(cos² α)
cos² α= 1/5
Ponieważ α jest kątem ostrym (promienie padają z góry), to cos α> 0: cos α= √(1/5) = 1/√(5) = 1/√(5) · √(5)/√(5) = √(5)/5
## Odpowiedź
cos α= √(5)/5
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.